“ $\Sigma_1^1$-Peano arithmetic ”- nó có ghim $\mathbb{N}$?

Feb 22 2021

Để cho $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$là lý thuyết trong hai trật tự lôgic nhận bằng cách mở rộng thông thường bậc nhất Peano tiên đề bao gồm tùy ý$\Sigma^1_1$công thức trong sơ đồ quy nạp. Câu hỏi của tôi là:

Làm $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ có bất kỳ mô hình không tiêu chuẩn?

Lưu ý rằng một mô hình của $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ chính xác là một mô hình của $\mathsf{PA}$ với không (thích hợp không tầm thường) $\Sigma^1_1$-các vết cắt có thể xác định được.

Nếu chúng tôi thay thế $\Sigma^1_1$ với $\Pi^1_1$ câu trả lời là phủ định ngay lập tức, vì tập hợp các phần tử tiêu chuẩn của một mô hình $\mathsf{PA}$$\Pi^1_1$. Tuy nhiên, dường như không có gì tương tự hoạt động đối với$\Sigma^1_1$ (mặc dù tôi có thể dễ dàng thiếu một cái gì đó rõ ràng).

Một quan sát nhanh là $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$không đòi hỏi số học đúng bậc nhất . Cho một công thức bậc nhất$\varphi(x)$, để cho $\hat{\varphi}(x)$$\Sigma^1_1$ công thức "Có một hình cắt có chứa $x$ sao cho mọi phần tử của vết cắt đều thỏa mãn $\varphi$." Nếu $M\models\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ chúng ta có $\hat{\varphi}^M\in\{\emptyset,M\}$; bằng cách cảm ứng về độ phức tạp của$\varphi$ chúng ta có thể chỉ ra rằng nếu mọi số tự nhiên tiêu chuẩn thỏa mãn $\varphi$ sau đó $0\in\hat{\varphi}^M$ và do đó $M\models\forall x\varphi(x)$ (mà sau đó cho $M\equiv\mathbb{N}$). Tuy nhiên, tôi không thấy cách sử dụng điều này để phân loại. Trên thực tế, theo như tôi biết, có thể ví dụ như mọi siêu phẩm tầm thường của$\mathbb{N}$ thỏa mãn $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$. (Lưu ý rằng$\Sigma^1_1$câu đối được bảo tồn theo phương pháp siêu mỏng; tuy nhiên, một trường hợp quy nạp cho một$\Sigma^1_1$ công thức là $\Sigma^1_1\vee\Pi^1_1$$\Pi^1_1$ các câu không được giữ nguyên khi sử dụng siêu tháp, vì vậy điều này dường như không hữu ích.)

Trả lời

5 AndreasBlass Feb 23 2021 at 04:14

Nếu bạn cho phép của bạn $\Sigma^1_1$ công thức để có tham số, sau đó PA$_{\Sigma^1_1}$chỉ có mô hình tiêu chuẩn. Để chứng minh điều đó, hãy sử dụng$\Pi^1_1$ định nghĩa về tiêu chuẩn để tạo ra một $\Sigma^1_1$ công thức $\sigma(x,y)$ nói rằng $x<y$$y-x$ không phải là tiêu chuẩn, tức là, $x$ là vô cùng xa dưới đây $y$. Thật dễ dàng để thể hiện điều đó$\sigma(x,y)$ ngụ ý $\sigma(x+1,y)$. Vậy nên$\Sigma^1_1$ cảm ứng, nếu $\sigma(0,y)$ sau đó $\forall x\,\sigma(x,y)$ và đặc biệt, $\sigma(y,y)$, thật là vô lý. Vì thế$\neg\sigma(0,y)$. Nhưng điều đó có nghĩa là$y$ là tiêu chuẩn.

© Copyright 2021 - 2022 | vngogo.com | All Rights Reserved