Nguyên tắc phản chiếu so với vũ trụ

Jan 27 2021

Trong các cuộc thảo luận về phạm trù-lý thuyết, thường có cảm giác bị lôi cuốn vào phạm trù của tất cả các nhóm abel, hoặc của tất cả các phạm trù, v.v., điều này nhanh chóng dẫn đến các vấn đề lý thuyết tập hợp thông thường. Chúng thường được tránh bằng cách sử dụng vũ trụ Grothendieck. Trong ngôn ngữ lý thuyết tập hợp, người ta sửa một số cardinal không thể truy cập mạnh$\kappa$ -- điều này có nghĩa rằng $\kappa$ là một số hồng y không thể đếm được như vậy cho tất cả $\lambda<\kappa$, cũng thế $2^\lambda<\kappa$và cho bất kỳ tập hợp nào của $<\kappa$ nhiều bộ $S_i$ có kích thước $<\kappa$, công đoàn của họ cũng có quy mô $<\kappa$. Điều này ngụ ý rằng giai đoạn$V_\kappa\subset V$ trong tổng số "bộ kích thước $<\kappa$"bản thân nó là một mô hình của ZFC - bằng cách áp dụng bất kỳ hoạt động nào trên các tập hợp, chẳng hạn như sử dụng các tập hợp quyền hạn hoặc kết hợp, bạn không bao giờ có thể rời khỏi $V_\kappa$. Những tập hợp này sau đó được gọi là "nhỏ", và sau đó loại nhóm abelian nhỏ chắc chắn được xác định rõ ràng.

Trong lịch sử, cách tiếp cận này lần đầu tiên được sử dụng bởi Grothendieck; một văn bản nền tảng gần đây hơn là công việc của Lurie$\infty$-Thể loại. Tuy nhiên, việc sử dụng chúng luôn tạo ra phản ứng dữ dội, với một số người không muốn để những tiên đề ngoài ZFC lọt vào văn học lâu đời. Ví dụ, tôi nghĩ rằng tại một thời điểm nào đó, đã có một cuộc thảo luận dài về việc liệu Định lý cuối cùng của Fermat có được chứng minh trong ZFC hay không, bây giờ đã được giải quyết bởi McLarty. Gần đây hơn, tôi đã thấy những lập luận tương tự được đưa ra cho các định lý mà cách chứng minh của nó là công trình của Lurie. (Cá nhân tôi không có cảm xúc mạnh mẽ về điều này và hiểu các lý lẽ theo cách nào đó.)

Mặt khác, cũng luôn luôn có trường hợp khi kiểm tra kỹ hơn cho thấy rằng bất kỳ việc sử dụng vũ trụ nào trên thực tế là không cần thiết. Ví dụ: Dự án ngăn xếp không sử dụng vũ trụ. Thay vào đó, (xem Thẻ 000H nói) nó làm suy yếu một cách hiệu quả giả thuyết rằng$\kappa$ không thể tiếp cận một cách mạnh mẽ, đối với một cái gì đó giống như một giới hạn mạnh mẽ của tính chung không thể đếm được, tức là: cho tất cả $\lambda<\kappa$, một có $2^\lambda<\kappa$và bất cứ khi nào bạn có một bộ sưu tập có thể đếm được$S_i$ có kích thước $<\kappa$, cũng là liên minh của $S_i$ có kích thước $<\kappa$. ZFC dễ dàng chứng minh sự tồn tại của$\kappa$và hầu như mọi lập luận mà người ta có thể hình dung ra trong danh mục các nhóm abel thực sự cũng hoạt động trong danh mục $\kappa$-nhóm abelian nhỏ cho như vậy $\kappa$. Nếu một người đưa ra các lập luận phức tạp hơn, theo đó, người ta có thể củng cố giả thuyết ban đầu về$\kappa$. Tôi đã có dịp tự mình chơi trò chơi này, hãy xem Phần 4 của www.math.uni-bonn.de/people/scholze/EtCohDiamonds.pdf để biết kết quả. Từ kinh nghiệm này, tôi khá chắc chắn rằng người ta có thể viết lại tương tự "Lý thuyết Topos cao hơn" của Lurie, hoặc bất kỳ công trình lý thuyết phạm trù tương tự nào khác, theo cách loại bỏ tất cả các thẻ bài khó tiếp cận, thay thế chúng bằng cách lựa chọn cẩn thận.$\kappa$ với các thuộc tính như ở trên.

Trên thực tế, dường như có một định lý của ZFC, nguyên lý phản xạ (được thảo luận ngắn gọn trong Tag 000F của dự án Stacks), dường như đảm bảo rằng điều này luôn khả thi. Cụ thể, đối với bất kỳ tập hợp hữu hạn nào của lý thuyết tập hợp, có một số$\kappa$ như vậy, nói một cách đại khái, những công thức này giữ $V_\kappa$ nếu và chỉ khi họ giữ $V$. Điều này dường như nói rằng đối với bất kỳ tập hợp hữu hạn nào của công thức, người ta có thể tìm thấy một số$\kappa$ như vậy mà $V_\kappa$cư xử như một vũ trụ đối với những công thức này, nhưng xin hãy sửa tôi trong hiểu biết rất ngây thơ của tôi về nguyên lý phản xạ! (Một thực tế liên quan là ZFC chứng minh tính nhất quán của bất kỳ đoạn hữu hạn nhất định nào của các tiên đề ZFC.)

Mặt khác, bất kỳ văn bản toán học nào chỉ chứa tối đa nhiều công thức (trừ khi nó nêu một "lược đồ định lý", điều này không thường xảy ra mà tôi tin). Do đó, câu hỏi được diễn đạt hơi khiêu khích:

Nguyên tắc phản xạ có ngụ ý rằng phải có thể viết lại Lý thuyết Topos cao hơn theo cách tránh sử dụng vũ trụ không?

Chỉnh sửa (28.01.2021): Cảm ơn rất nhiều vì tất cả các câu trả lời rất hữu ích! Tôi nghĩ rằng tôi đã có một bức tranh rõ ràng hơn nhiều về tình hình bây giờ, nhưng tôi vẫn không chắc chắn chính xác câu trả lời cho câu hỏi là gì.

Theo những gì tôi hiểu, (đại khái) định lý meta tốt nhất theo hướng này là sau đây (chuyên biệt cho HTT). Hãy nhớ lại rằng HTT đã sửa hai thẻ bài không thể truy cập mạnh$\kappa_0$$\kappa_1$, do đó, nhường chỗ cho nhỏ (trong $V_{\kappa_0}$), lớn (trong $V_{\kappa_1}$), và rất lớn (trong $V$) các đối tượng. Sau đó, người ta có thể thử đọc HTT trong hệ thống tiên đề sau (đây thực chất là bài báo của Feferman "Cơ sở lý thuyết tập hợp của lý thuyết phạm trù", và cũng đã được đề xuất trong câu trả lời của Rodrigo Freire dưới đây).

(i) Tiên đề ZFC thông thường

(ii) Hai ký hiệu khác $\kappa_0$$\kappa_1$, với những tiên đề rằng họ là những con bài, rằng đồng nghĩa của $\kappa_0$ là không thể đếm được, và đó là tính chung của $\kappa_1$ lớn hơn $\kappa_0$.

(iii) Một lược đồ tiên đề, nói rằng với mọi công thức $\phi$ lý thuyết tập hợp, $\phi\leftrightarrow \phi^{V_{\kappa_0}}$$\phi\leftrightarrow \phi^{V_{\kappa_1}}$.

Sau đó, nguyên tắc phản xạ có thể được sử dụng để hiển thị (xem câu trả lời của Rodrigo Freire bên dưới để biết bản phác thảo của bằng chứng):

Định lý. Hệ thống tiên đề này là bảo toàn so với ZFC. Nói cách khác, bất kỳ định lý nào trong hệ thống hình thức này không tham chiếu đến$\kappa_0$$\kappa_1$ cũng là một định lý của ZFC.

Đây chính xác là kết luận mà tôi muốn có.

Lưu ý rằng $V_{\kappa_0}$$V_{\kappa_1}$ là các mô hình của ZFC, nhưng (nghiêm trọng!) điều này không thể được chứng minh bên trong hệ thống chính thức, vì ZFC không phải là tiên đề hoàn toàn có thể phân tích được và chỉ mỗi tiên đề riêng lẻ của ZFC được đặt ra bởi (iii).

Một điều thú vị về hệ tiên đề này là nó cho phép rõ ràng các đối số không thường xuyên ở dạng "chúng tôi đã chứng minh định lý này cho các hạng mục nhỏ, nhưng sau đó chúng tôi cũng có thể áp dụng nó cho các hạng mục lớn".

Một câu hỏi chính xác hơn sau đó là:

Các lập luận của HTT có hoạt động trong hệ thống chính quy này không?

Mike Shulman trong Phần 11 của https://arxiv.org/abs/0810.1279đưa ra một giải thích rất rõ ràng về vấn đề tiềm ẩn ở đây là gì. Cụ thể, nếu bạn có một bộ$I\in V_{\kappa_0}$ và bộ $S_i\in V_{\kappa_0}$ cho $i\in I$, bạn không được phép kết luận rằng sự kết hợp của $S_i$ trong $V_{\kappa_0}$. Kết luận này chỉ được đảm bảo nếu hàm$i\mapsto S_i$ cũng được định nghĩa trong $V_{\kappa_0}$ (hoặc nếu $I$là có thể đếm được, bởi giả định thêm về tổng số không đếm được). Trong thực tế, điều này có nghĩa là khi một người muốn khẳng định rằng một cái gì đó là "nhỏ" (tức là trong$V_{\kappa_0}$), phán đoán này không chỉ liên quan đến các đối tượng, mà còn liên quan đến các hình thái v.v ... Hiện tại tôi không rõ vấn đề này thực sự là bao nhiêu, tôi sẽ phải suy nghĩ thêm về nó; Tôi thực sự có thể tưởng tượng rằng việc đọc HTT khá dễ dàng để đáp ứng hệ thống chính thức này. Shulman nói rằng, với điều này, định lý hàm hàm liền kề có thể được chứng minh, và như Lurie đã nói trong các câu trả lời của mình, các đối số trong HTT có độ phức tạp lý thuyết tập hợp tương tự. Tuy nhiên, tôi vẫn muốn đánh giá xem câu trả lời cho câu hỏi là "Có, như đã viết" hay đúng hơn là "Có thể là có, nhưng bạn phải nỗ lực một chút" hay trên thực tế là "Không hẳn". (Tôi thực sự hy vọng rằng các chuyên gia sẽ có thể đồng ý về vị trí mà câu trả lời nằm trong phổ này.)

Nhận xét cuối cùng: Người ta có thể thấy giả định "không thể đếm được" ở trên hơi tùy tiện; tại sao không cho phép một số công đoàn lớn hơn một chút? Một cách để giải quyết vấn đề này là thêm một biểu tượng$\kappa_{-1}$ với các thuộc tính giống nhau và thay vào đó hãy hỏi rằng tính chung của $\kappa_0$ lớn hơn $\kappa_{-1}$. Tương tự, người ta có thể muốn thay thế giới hạn$\mathrm{cf} \kappa_1>\kappa_0$ bởi một ràng buộc mạnh hơn một chút như $\mathrm{cf} \kappa_1>2^{\kappa_0}$Nói. Một lần nữa, nếu nó đơn giản hóa mọi thứ, thì người ta có thể bóp chết người khác$\kappa_{1/2}$ ở giữa, vì vậy $\mathrm{cf} \kappa_{1/2}>\kappa_0$$\mathrm{cf} \kappa_1>\kappa_{1/2}$. Bằng cách này, người ta không phải lo lắng liệu bất kỳ đối tượng "tiêu chuẩn" nào xuất hiện trong một số bằng chứng có ở kích thước có thể đếm được hay không, hoặc liệu một đối tượng vẫn có thể lấy colimit trong$V_{\kappa_1}$ khi các tập chỉ mục không có kích thước chính xác được giới hạn bởi $\kappa_0$ nhưng đã bị thao túng một chút.

Tái bút: Bây giờ tôi chỉ tìm thấy tất cả các câu hỏi và câu trả lời MO trước đây có liên quan. Một số câu trả lời rất phù hợp là câu trả lời của Joel Hamkins ở đây và ở đây .

Trả lời

30 JacobLurie Jan 27 2021 at 19:24

Tôi sẽ đi ra ngoài và đề nghị rằng cuốn sách HTT không bao giờ sử dụng bất cứ điều gì mạnh hơn thay thế cho $\Sigma_{15}$-công thức của lý thuyết tập hợp. (Đây$15$ là một số lớn được chọn ngẫu nhiên và HTT là cuốn sách toán học được chọn ngẫu nhiên không nói riêng về lý thuyết tập hợp.)

22 JacobLurie Jan 28 2021 at 07:39

Suy nghĩ về nhận xét của Gabe về câu trả lời ban đầu của tôi, giờ tôi nghĩ những gì tôi viết là sai lệch vì nó bao hàm hai khẳng định riêng biệt (nhưng có liên quan):

  1. Sự tồn tại của những hồng y không thể tiếp cận được thực sự không cần thiết trong lý thuyết phạm trù.

  2. Toàn bộ sức mạnh của ZFC không thực sự cần thiết trong lý thuyết phạm trù.

Tôi đồng ý với cả hai tuyên bố này, nhưng nghĩ rằng cách tốt nhất để thuyết phục ai đó 1) sẽ không phải là kết hợp 2) với một nguyên tắc phản ánh: nghĩa là, người ta không nên cố gắng thay thế việc sử dụng một thẻ bài khó tiếp cận. $\kappa$ bởi một cho cái đó $V_{\kappa}$ mô hình hóa một phần lớn của ZFC.

Như tôi thấy, "vấn đề" mà vũ trụ giải quyết là để biện minh cho sự kết hợp của hai kiểu lý luận:

A) Đôi khi hữu ích khi chứng minh các định lý về các phạm trù nhỏ $\mathcal{C}$ bằng cách nhúng chúng vào các danh mục "lớn" (ví dụ: sử dụng phương pháp nhúng Yoneda) có các tính năng bổ sung tuyệt vời: ví dụ: sự tồn tại của các giới hạn và colimit.

B) Các phạm trù lớn cũng là các phạm trù, vì vậy bất kỳ định lý nào áp dụng cho các phạm trù nói chung cũng nên áp dụng cho các phạm trù lớn.

Nếu bạn chỉ lo lắng về B), thì một nguyên tắc phản ánh có thể phù hợp. Chọn một hồng y$\kappa$ như vậy mà $V_{\kappa}$ đáp ứng một phần lớn ZFC, bạn có thể xác định lại "danh mục nhỏ" thành "danh mục thuộc về $V_{\kappa}$"và" danh mục lớn "có nghĩa là" danh mục không nhất thiết thuộc về $V_{\kappa}$", và bạn có thể cảm thấy tự tin rằng tất cả các định lý cơ bản bạn có thể muốn đều có giá trị trong cả hai trường hợp.

Nhưng nếu bạn cũng lo lắng về A), thì điều này không nhất thiết hữu ích. Giả sử bạn bắt đầu với một danh mục$\mathcal{C}$ thuộc về $V_{\kappa}$và bạn muốn một số phiên bản nhúng Yoneda. Một dự đoán tự nhiên sẽ là nhúng vào danh mục các diễn viên vui nhộn từ$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ đến loại tập hợp kích thước $<\tau$ (hoặc một số mô hình tương đương của nó), đối với một số $\tau$. Dự đoán đầu tiên là bạn nên lấy$\tau = \kappa$, nhưng tôi nghĩ điều này chỉ có ý nghĩa $\kappa$là không thể truy cập được (nếu không một số bộ Hom sẽ quá lớn). Trong mọi trường hợp, hãy đảm bảo rằng công trình này có các đặc tính tốt, bạn sẽ muốn yêu cầu các thuộc tính khác nhau của cardinal$\tau$. Ví dụ: nếu bạn muốn loại sản phẩm này có nhiều colimit, thì bạn sẽ muốn$\tau$để có đồng kết lớn. Và nếu bạn bắt đầu suy nghĩ về những loại giả định bổ sung mà bạn có thể cần phải thực hiện, bạn sẽ quay lại nơi bạn bắt đầu: nghĩ về loại ước tính bản số đảm bảo rằng "có sẵn các tập hợp kích thước$< \tau$"là một phép gần đúng tốt cho phạm trù của tất cả các tập hợp trước. Vì vậy, nguyên tắc phản xạ không thực sự giúp bạn tránh được những vấn đề đó.

(Chỉnh sửa: Tôi nhận ra sau khi viết rằng văn bản dưới đây chủ yếu là nhắc lại bài đăng ban đầu của Peter. Nhưng tôi sẽ để nó ở đây trong trường hợp có ai thấy nó hữu ích.)

Nếu bạn muốn chính thức hóa chặt chẽ trong một cái gì đó như ZFC, có lẽ điều tốt nhất nên làm là loại bỏ hoàn toàn các danh mục lớn. Vì vậy, sau đó B) là một vấn đề không. Để đối phó với A), hãy để tôi nhận xét rằng nhiều danh mục "lớn" mà người ta muốn nói đến phát sinh theo một cách cụ thể: một danh mục bắt đầu với một danh mục nhỏ$\mathcal{C}$ trong đó đã có một số loại colimit và chính thức mở rộng $\mathcal{C}$ để tạo ra một danh mục lớn hơn $\mathcal{C}^{+}$có các colimit tùy ý (mà không thay đổi các colimit mà bạn đã bắt đầu). Các danh mục phát sinh theo cách này được gọi là có thể trình bày cục bộ và có một công thức đơn giản cho$\mathcal{C}^{+}$: đó là thể loại của các diễn viên vui nhộn $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathrm{Set}$ duy trì các giới hạn mà bạn đã bắt đầu (nghĩa là, colimit mà bạn bắt đầu với $\mathcal{C}$).

Bây giờ, nếu bạn muốn bắt chước điều này trong thế giới của các danh mục nhỏ, thay vào đó bạn có thể chọn một số hồng y $\kappa$ và thay vào đó hãy chiêm ngưỡng những người vui $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \{ \text{Sets of size < $\ kappa$} \}$, tương đương với một danh mục nhỏ $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$. Câu hỏi bạn gặp là liệu đây có phải là sự thay thế đủ tốt cho danh mục lớn hay không$\mathcal{C}^{+}$ở trên. Ví dụ, nó có nhiều giới hạn và colimit không? Thật không hợp lý khi yêu cầu nó có tất cả các colimit, nhưng thay vào đó, bạn có thể hỏi những điều sau:

Q) Danh mục có $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ có colimit được lập chỉ mục bằng sơ đồ kích thước $< \kappa$?

Câu trả lời cho Q) là "không nói chung, nhưng có nếu $\kappa$ được chọn độc đáo ". Ví dụ: nếu bạn có một số thẻ bài vô hạn $\lambda$ giới hạn kích thước của $\mathcal{C}$ và số lượng biểu đồ colimit mà bạn bắt đầu, thì tôi tin rằng bạn có thể đảm bảo (i) bằng cách lấy $\kappa = (2^{\lambda})^{+}$ (và danh mục $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$có thể được đặc trưng bởi đặc tính phổ quát mong đợi). Hơn nữa, để chứng minh điều này bạn không cần bất kỳ hình thức thay thế nào.

Bây giờ bạn cũng có thể hỏi những điều sau:

Q ') Có thể loại $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ có giới hạn được lập chỉ mục bằng sơ đồ kích thước $< \kappa$?

Ở đây câu trả lời thường là "không" trừ khi $\kappa$không thể truy cập được. Nhưng nếu bạn chỉ quan tâm đến các giới hạn của một loại cụ thể (ví dụ: nếu bạn đang nghiên cứu về Grothendieck topoi, bạn có thể đặc biệt quan tâm đến các giới hạn hữu hạn), thì câu trả lời sẽ lại là "có cho$\kappa$ được lựa chọn tốt ". Và đây là điều bạn có thể chứng minh là sử dụng rất ít ZFC.

Bây giờ khẳng định của tôi là, dựa trên kinh nghiệm của tôi, cuộc thảo luận ở trên là đại diện cho loại câu hỏi mà bạn sẽ gặp phải khi cố gắng điều hướng sự phân biệt giữa các danh mục "nhỏ" và "lớn" (chắc chắn nó đại diện cho cách những điều này xuất hiện trong cuốn sách của tôi, mà câu hỏi ban đầu đã hỏi về). Trong thực tế, bạn không bao giờ cần phải nói về toàn bộ một danh mục lớn như$\mathcal{C}^{+}$; nó đủ để xây dựng một phần đủ lớn của nó (như$\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$) có các tính năng mà bạn muốn xem, bạn có thể sắp xếp bằng cách chọn $\kappa$ cẩn thận.

Tôi thấy rõ ràng hơn về mặt khái niệm khi bỏ qua vấn đề về cách mọi thứ được chính thức hóa trong ZFC và cụm từ mọi thứ theo danh mục "lớn" $\mathcal{C}^{+}$, đề cập trở lại các giá trị gần đúng "nhỏ" của nó $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$chỉ như những chất hỗ trợ trong một bằng chứng (chắc chắn sẽ vẫn xuất hiện ở đâu đó!). Việc gọi các "vũ trụ" chỉ là một cách để viết như thế này trong khi vẫn trả tiền dịch vụ môi cho khung tiên đề của ZFC, và chắc chắn là không cần thiết.

20 MikeShulman Jan 29 2021 at 00:22

Tôi muốn đề cập đến điều gì đó mà tôi nghĩ vẫn chưa được chỉ ra. Câu hỏi ban đầu bắt đầu với

Trong ngôn ngữ lý thuyết tập hợp, người ta sửa một số cardinal không thể truy cập mạnh $\kappa$... Điều này ngụ ý rằng giai đoạn $𝑉_\kappa\subset 𝑉$ trong tổng số "bộ kích thước $<\kappa$"bản thân nó là một mô hình của ZFC.

Tuy nhiên, tuyên bố rằng $V_\kappa$ là một mô hình của ZFC yếu hơn đáng kể so với việc nói rằng $\kappa$không thể truy cập được. Trên thực tế, nếu$\kappa$ không thể truy cập được, sau đó $\{ \lambda\mid V_\lambda$ là một mô hình của ZFC $\}$ đang đứng yên tại $\kappa$. Do đó, nhỏ nhất không thể truy cập được (nếu có) lớn hơn nhiều so với nhỏ nhất$\kappa$ như vậy mà $V_\kappa$ mô hình ZFC.

Trong chừng mực như nguyên lý phản xạ là hữu ích (mà, như một số câu trả lời khác đã chỉ ra, ít nhất người ta có thể đặt câu hỏi), nó chỉ hữu ích trực tiếp cho các lập luận trong đó thuộc tính liên quan của vũ trụ Grothendieck là nó là một mô hình của ZFC. Tuy nhiên, ít nhất là khi được xây dựng một cách thuần túy, có rất nhiều nơi mà lý thuyết phạm trù sử dụng nhiều hơn điều này. Cụ thể, chúng tôi sử dụng thực tế rằng một vũ trụ Grothendieck thỏa mãn sự thay thế bậc hai , nghĩa là bất kỳ chức năng nào$f:A\to V_\kappa$, Ở đâu $A \in V_\kappa$, có một hình ảnh. Nói rằng$V_\kappa$mô hình ZFC chỉ ngụ ý rằng nó đáp ứng thay thế bậc nhất , điều này chỉ cho phép chúng tôi kết luận rằng một$f$ có một hình ảnh nếu $f$ có thể xác định được từ $V_\kappa$ bằng một công thức logic.

Tôi tin rằng sự thay thế bậc hai là phổ biến trong lý thuyết phạm trù dựa trên vũ trụ như thường được xây dựng. Ví dụ, nếu${\rm Set}_\kappa$ biểu thị loại tập hợp trong $V_\kappa$, sau đó để chứng minh rằng ${\rm Set}_\kappa$ là "đầy đủ và hoàn chỉnh" theo nghĩa nôm na là nó thừa nhận một giới hạn và colimit đối với bất kỳ bộ chức năng nào có miền nhỏ, chúng tôi cần thay thế bậc hai để thu thập hình ảnh của một bộ chức năng như vậy thành một tập hợp duy nhất.

Bây giờ, có nhiều cách để định dạng lại lý thuyết phạm trù để tránh điều này. Bài báo của McLarty thực hiện điều đó theo một số cách lý thuyết thiết lập. Một cách tiếp cận nhất quán về mặt phân loại là thay thế các "danh mục lớn" ngây thơ (nghĩa là các danh mục mà tập hợp các đối tượng và hình thái có thể không thuộc về$V_\kappa$) với lớn ${\rm Set}_\kappa$- danh mục được lập chỉ mục . Nhưng đây là một kiểu định dạng quan trọng hơn nhiều để thực hiện bằng tay.

15 MaximeRamzi Jan 27 2021 at 19:49

Nếu tôi hiểu chính xác, bạn đang ở sau một tuyên bố của biểu mẫu:

"Nếu điều gì đó đã được chứng minh trong HTT bằng cách sử dụng vũ trụ, nó có thể được chứng minh mà không có chúng bằng cách giới hạn ở một số $V_\kappa$ cho $\kappa$ đủ lớn"

Câu trả lời nghiêm khắc cho điều đó, nếu chúng ta không có thêm thông tin về HTT, là không thể có tuyên bố như vậy nếu ZFC nhất quán.

Thật vậy, có thể sự tồn tại của các vũ trụ là không nhất quán (thực tế là không thể chứng minh rằng nó nhất quán), và trong tình huống đó, bất cứ điều gì có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các vũ trụ, và do đó, một tuyên bố như vậy sẽ ngụ ý rằng bất cứ điều gì có thể được chứng minh , tức là ZFC không nhất quán.

Tôi hơi cẩu thả về những gì có thể chứng minh trong những gì, v.v. nhưng ý tưởng chính là ở đó

Tất nhiên, chúng ta biết những điều về HTT và nếu chúng ta đọc kỹ nó, chúng ta có thể phân tích nơi nó sử dụng các vũ trụ và thấy rằng chúng trên thực tế có thể được thay thế bằng các mô hình bắc cầu thay thế ZC + lên đến $\Sigma_{15}$-công thức, như Jacob đã chỉ ra. Trong trường hợp đó, vì có thể tồn tại các mô hình hoạt động độc đáo như vậy (dạng$V_\kappa$, cho $\kappa$lựa chọn tốt), đây không phải là một vấn đề; và HTT có thể được viết lại mà không có vũ trụ - nhưng điều này không thể được chứng minh nếu không có kiến ​​thức về những gì trong HTT.

"Đạo đức" của điều này là, trong hầu hết các câu hỏi lý thuyết thuộc thể loại chính thống, vũ trụ là một thiết bị tiết kiệm thời gian, và không phải là một phần thực tế của toán học.

13 Gro-Tsen Jan 28 2021 at 06:24

Bất kỳ định lý nào $T$ của $\mathsf{ZFC}$ theo sau từ một tập hợp con hữu hạn các tiên đề của $\mathsf{ZFC}$ hoặc, để giữ mọi thứ đơn giản, từ $\mathsf{ZFC}$ trong đó sơ đồ tiên đề về sự thay thế bị hạn chế đối với $\Sigma_n$ vị ngữ¹, gọi cái này $\mathsf{ZFC}_n$. Hiện nay$\mathsf{ZFC}$, và chính xác hơn là $\mathsf{ZFC}_{n+1}$, chứng minh sự tồn tại của các hồng y lớn tùy tiện $\kappa$, giới hạn mạnh mẽ của sự đồng nhất không thể đếm được, như vậy $V_\kappa$ là một mô hình của $\mathsf{ZFC}_n$, và đặc biệt, của định lý $T$và như vậy, hơn thế nữa, giá trị sự thật của bất kỳ $\Sigma_n$ câu lệnh, với các tham số trong $V_\kappa$ giống nhau ở $V_\kappa$như trong vũ trụ (thật). Chúng ta có thể gọi đây là$V_\kappa$ "Vũ trụ giới hạn" ở chỗ chúng bị đóng lại theo hầu hết hoạt động lý thuyết tập hợp, chẳng hạn như lấy bộ sức mạnh, ngoại trừ việc thay thế cần phải có thể đếm được (bao gồm để thuận tiện) hoặc bị hạn chế đối với $\Sigma_n$Thuộc tính; và đặc biệt, chúng được đóng dưới bất kỳ tuyên bố tồn tại nào$T$ làm cho.

Vì vậy, ý tưởng sẽ là áp dụng những điều trên cho sự kết hợp $T$ của tất cả các định lý mà bạn coi là một phần của Lý thuyết Topos Cao hơn (và bất kỳ lý thuyết nào khác được sử dụng làm điều kiện tiên quyết) và tìm $n$. (Tôi thực sự nghi ngờ rằng$n=1$ nên đủ: Tôi sẽ rất ngạc nhiên khi tìm thấy một ví dụ về sự thay thế trong toán học thông thường mà không tuân theo $\Sigma_1$-replacement.) Sau đó $\mathsf{ZFC}_n$ sẽ chứng minh $T$ (tất cả các định lý của lý thuyết) và $\mathsf{ZFC}_{n+1}$ sẽ chứng minh sự tồn tại của một nguồn cung cấp vô tận của các vũ trụ giới hạn để sử dụng lý thuyết.

Tất nhiên, để tránh một vòng lặp vô hạn, bạn không thể xem xét định lý đó (định lý khẳng định sự tồn tại của một nguồn cung cấp vô tận$V_\kappa$) để trở thành một phần của lý thuyết, hoặc bạn cần chuyển sang phần lớn hơn $n$.

Để giải thích những gì có vẻ như là một mâu thuẫn logic, ở đây, cần phải làm rõ rằng tuyên bố rằng sự tồn tại của nhiều mô hình $\mathsf{ZFC}_n$ có thể được chứng minh trong $\mathsf{ZFC}$ Cho mọi $n$, nhưng không đồng nhất như vậy (bằng chứng ngày càng lâu hơn khi $n$ phát triển), vì vậy $n$phải là một số tự nhiên cụ thể , được định lượng phổ biến (hết $n$) tuyên bố không được cung cấp trong$\mathsf{ZFC}$. Nhưng đây không phải là vấn đề miễn là lý thuyết của bạn đã được sửa chữa và được xây dựng trong$\mathsf{ZFC}$ (đòi hỏi rằng bản thân nó không chứa các siêu định lượng như “đối với bất kỳ loại bê tông nào $n$ chúng tôi có thể chứng minh những điều sau đây trong $\mathsf{ZFC}$”). Vì vậy, bạn có thể chắc chắn rằng đây là trường hợp của HTT (và nếu bạn đủ can đảm, hãy tìm$n$).

(Chỉ để cho biết các loại hồng y có liên quan như thế nào, các hồng y $\kappa$ như vậy mà $V_\kappa$ là một mô hình của $\mathsf{ZFC}_1$ là những điểm cố định của $\gamma \mapsto \beth_\gamma$chức năng. Tôi không nghĩ rằng có bất kỳ hy vọng nào cho một mô tả hợp lý về$\kappa$ như vậy mà $V_\kappa$ là một mô hình của $\mathsf{ZFC}_n$ cho bất kỳ bê tông nào $n\geq 2$. Xem thêm câu hỏi này .)

  1. Các vị ngữ có nghĩa với nhiều nhất $n$ tập hợp xen kẽ các định lượng không giới hạn, bắt đầu với các định lượng hiện sinh, tiếp theo là công thức với các định lượng có giới hạn (ý nghĩa của dạng $\forall x\in y$ hoặc là $\exists x\in y$).
13 PeterScholze Jan 29 2021 at 21:13

OK, tôi đã dành phần lớn thời gian của ngày hôm nay để cố gắng tìm ra điều này bằng cách thực sự xem xét một số chi tiết tại HTT. Đó là một chuyến đi khá; Tôi chắc chắn đã thay đổi quan điểm của mình nhiều lần trong quá trình này. Hiện tại, đối với tôi, có vẻ như câu trả lời là HTT, như đã viết, có thể được đọc trong hệ thống chính thức này. (Vì vậy, điều này giống như trong một trò đùa, nơi mà sau nhiều giờ ai đó nói "Vâng, điều đó là hiển nhiên." Chắc chắn có những điểm mà cách giải thích chính xác phải được chọn, nhưng như trong bất kỳ văn bản toán học nào, điều đó đã xảy ra.) với câu trả lời này, tôi muốn đưa ra một lập luận rằng HTT có thể được đọc trong hệ thống chính thức này, cố gắng giải thích một chút cách diễn giải những điều nhất định trong trường hợp có thể xuất hiện sự mơ hồ và tại sao tôi nghĩ đọc nó theo cách này thì mọi thứ sẽ hoạt động. Nhưng có khả năng là tôi đã bỏ qua điều gì đó quan trọng, vì vậy xin hãy sửa lại cho tôi!

Như Tim Campion lưu ý, hầu hết những thứ ban đầu hoạt động mà không gặp vấn đề gì - trên thực tế, nó thậm chí còn không đề cập đến vũ trụ. Miễn là nó không, mọi thứ hoạt động trong$V_{\kappa_0}$, trong $V_{\kappa_1}$, và trong $V$, và lược đồ tiên đề đã cho thậm chí còn đảm bảo rằng bất kỳ cấu trúc nào được tạo ra sẽ tương thích.

Người ta phải chú ý kỹ hơn khi đến Chương 5 và 6. Hãy để tôi cố gắng trình bày một số định nghĩa và mệnh đề từ các chương này từ ba quan điểm khác nhau.

  1. Quan điểm cổ điển của ZFC, hoặc (một cách công bằng) theo lý thuyết von Neumann - Bernays - Gödel (NBG), cho phép các lớp ngoài các tập hợp, vì vậy chúng ta có thể nói về phạm trù (quy mô lớp học) của tất cả các tập hợp $\mathrm{Set}$.

  2. Quan điểm của HTT, đó là vũ trụ ZFC + Grothendieck.

  3. Quan điểm về lý thuyết tập hợp của Feferman, ở dạng nêu trong câu hỏi. (Trên thực tế, tôi không còn chắc chắn liệu mình có thực sự cần những giới hạn chung kết này hay không. Nhưng thật tuyệt khi biết rằng chúng có thể được giả định.)

Lưu ý rằng câu hỏi được hỏi giả định rằng một người thực sự quan tâm đến quan điểm đầu tiên, và những câu hỏi khác chỉ trong chừng mực chúng là những tiện ích để chứng minh điều gì đó về thiết lập đầu tiên. Điều này phù hợp với nội dung của Chương 5 và 6: toàn bộ lý thuyết về các phạm trù khả kiến ​​rất phù hợp với bối cảnh đầu tiên, cũng về mặt triết học.

Được rồi, hãy nhớ lại rằng danh mục có thể trình bày được - hãy để tôi chỉ cần gắn bó với các danh mục thay vì $\infty$-categories, sự khác biệt là không cần thiết đối với các mối quan tâm của chúng tôi - là một danh mục (quy mô lớp học) $C$ điều đó thừa nhận tất cả các colimit nhỏ và như vậy đối với một số cardinal thông thường $\kappa$, có một số hạng mục nhỏ $C_0$ và một sự tương đương $C\cong \mathrm{Ind}_{\kappa}(C_0)$,

I E $C$ có được bằng cách tự do liền kề $\kappa$-colimits lọc thành $C_0$. (Đặc biệt,$C_0$ nhất thiết phải tương đương với danh mục con đầy đủ của $\kappa$-các đối tượng nhỏ gọn của $C$.) Đặc biệt, các danh mục khả dụng được xác định bởi một lượng nhỏ dữ liệu. Ngoài ra, ý tưởng là$C$thực sự là phạm trù của tất cả các đối tượng (tập hợp, nhóm, bất cứ thứ gì). Quan điểm này thực sự được trình bày rõ ràng nhất ở 1), trong khi ở 2) và 3) khái niệm về tính hiện hữu đột nhiên phụ thuộc một lần nữa vào vũ trụ, và đột nhiên chúng lại chỉ chứa những tập hợp / nhóm nhỏ / ...; để tôi sau đó gọi chúng là nhỏ-xinh xắn. Lưu ý rằng khái niệm này có ý nghĩa trong cả 2) và 3), và nó chỉ phụ thuộc vào$V_{\kappa_0}$. Sau đó, một danh mục nhỏ có thể trình bày được cụ thể là loại nhỏ có thể xác định được, do đó$\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$, trong đó sự bao gồm này là một bình đẳng trong 2) (nhưng không phải trong 3)).

Trong 2), người ta thường định nghĩa danh mục nhỏ có thể trình bày là một loại đặc biệt của danh mục lớn, đó là cách tiếp cận của HTT. Nhưng ở đây, tôi thực sự đang đọc và hơi bối rối: Có vẻ như có hai khái niệm về diễn viên vui nhộn$F: C\to D$: Những cái có thể xác định trong $V_{\kappa_0}$, tương đương $F\in V_{\kappa_0+1}$ (cụ thể là, $V_{\kappa_0+1}$ chính xác là các lớp của $V_{\kappa_0}$), hoặc tất cả các chức năng trong $V_{\kappa_1}$. Đối với tôi dường như không rõ ràng rằng bất kỳ trò chơi nào$F: C\to D$ trong $V_{\kappa_1}$ nằm trong $V_{\kappa_0+1}$, như $C$$D$ họ chỉ sống ở $V_{\kappa_0+1}$. Sự khác biệt giữa hai khái niệm này sẽ biến mất khi người ta hạn chế đối với các bộ chức năng có thể truy cập được, tất cả đều có thể xác định được. Lưu ý rằng 1) nói rằng đó thực sự là khái niệm đầu tiên chúng ta nên quan tâm! (Trước khi viết bài này, tôi không nhận thức được sự khác biệt.)

Trong 3), cách thích hợp để tiếp tục là sử dụng quan điểm được chỉ định bởi 1), đó là quan điểm của "$V_{\kappa_0}$-các danh mục có thể xác định được ", vì vậy họ sống ở $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$. Một lần nữa người ta có thể coi chúng là$\kappa_1$-các loại nhỏ. Lúc đầu, tôi nghĩ rằng sẽ có một sự khác biệt đáng kể ở đây giữa các phương pháp tiếp cận 2) và 3), nhưng thực sự thì có vẻ như trong cả hai trường hợp, người ta đạt đến hai khái niệm khác nhau về bộ chức năng, được dung hòa khi người ta hạn chế các bộ chức năng có thể truy cập được.

Một trong những định lý chính là định lý hàm liền kề: Nếu $F: C\to D$là một chức năng của các danh mục khả dụng bảo tồn tất cả các colimit nhỏ, sau đó nó thừa nhận một phụ thuộc đúng. Định lý này thực sự có nghĩa là gì?

Trong 1), nó có nghĩa là có một functor $G: D\to C$ - đặc biệt có nghĩa là nó phải được xác định bằng các công thức, vì đây là hàm chức năng giữa các danh mục có kích thước lớp - cùng với các phép biến đổi đơn vị và counit (có thể xác định được!) thỏa mãn các điều kiện thông thường.

Trong 2), một đơn giản là liên quan đến $C$$D$ như là nhỏ khi được xem xét trong $V_{\kappa_1}$và sau đó khẳng định sự tồn tại của liền kề bên phải ở đó. Nếu không có thêm thông tin, điều này thực sự dường như không mang lại những gì chúng ta muốn ở 1), như là một$G$(và các phép biến đổi đơn vị và counit) tất cả đều nằm trong vũ trụ lớn hơn. Nhưng thông tin này có thể thu được bằng cách ghi nhớ rằng$G$ thực sự có thể truy cập được (một phần của định lý hàm hàm liền kề mà tôi đã bỏ qua ở phần trên, nhưng nên được đưa vào), và vì vậy mọi thứ được xác định trên một tập hợp.

Trong 3), một lần nữa muốn đi đến kết quả của 1), nhưng có thể thử làm điều này như trong 2) bằng cách trước tiên chứng minh sự tồn tại của dữ liệu đó trong $V_{\kappa_1}$ và sau đó chứng minh khả năng tiếp cận, do đó mang lại rằng mọi thứ nằm trong $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})$.

Hãy để chúng tôi xem điều này diễn ra như thế nào ở một vài vị trí ban đầu trong Chương 5, nơi các vũ trụ được sử dụng.

Định nghĩa 5.1.6.2: Cho $C$là một loại thừa nhận tất cả các colimit nhỏ. Một đối tượng$X\in C$hoàn toàn nhỏ gọn nếu functor$j_X: C\to \widehat{\mathrm{Set}}$ đại diện bởi $X$ bảo tồn các colimit nhỏ.

Đây $\widehat{\mathrm{Set}}$ là danh mục (rất lớn) của các bộ trong $V_{\kappa_1}$. Hãy để chúng tôi giải thích ý nghĩa của định nghĩa này trong các hệ thống trên.

  1. Đây $C$là bất kỳ danh mục nào (có thể có quy mô lớp học). Lưu ý rằng, đặc biệt là trong HTT, "cục bộ nhỏ" không phải là một giả thuyết tiêu chuẩn, vì vậy điều này cho phép các biến thể chẵn giữa hai đối tượng thành các tập hợp thích hợp. Vì lý do này, functor thực sự phải đi đến$\widehat{\mathrm{Set}}$và đây là điều mà chúng ta không thể nói trong bối cảnh này. Vì vậy, người ta sẽ phải cải tổ điều kiện để đáp ứng sự phản đối này; điều này không khó, nhưng có thể hơi khó chịu.

  2. Tôi nghĩ rằng nó được ngụ ý trong định nghĩa rằng $C$ là bất kỳ danh mục nào nằm trong $V_{\kappa_1}$. Điều này đang nắm bắt chính xác thiết lập của 1) trong đó nếu$C$ có thể xác định nhỏ là đến từ 1), sau đó bất kỳ biểu đồ colimit nhỏ nào trong $C$ tự động có thể xác định nhỏ.

  3. Ở đây chúng ta có hai lựa chọn: Hoặc từ 1) hoặc từ 2), và chúng đưa ra các quan niệm khác nhau. Trong trường hợp xung đột, quan điểm từ 1) là quan điểm chính xác, vì vậy$C$là nhỏ có thể xác định được và một người yêu cầu hoán vị với các colimit của sơ đồ nhỏ có thể xác định. Nhưng trong khi ở phần 1) chúng tôi gặp khó khăn trong việc hình thành điều kiện, thì các vũ trụ ở phần 3) có nghĩa là điều kiện bây giờ có thể được hình thành: chúng tôi có thể yêu cầu rằng cần có các colimit nhỏ có thể xác định được trong$C$ để colimits trong $\widehat{\mathrm{Set}}$. Đây$\widehat{\mathrm{Set}}$ là những bộ trong $V_{\kappa_1}$.

Vì vậy, trong trường hợp này, kết quả là người ta phải cẩn thận một chút trong 3) về cách giải thích, nhưng được hướng dẫn bởi 1) người ta có thể đưa ra định nghĩa đúng; và sau đó hệ thống thực sự giúp ích.

Đề xuất 5.2.6.2: Hãy $C$$D$được các danh mục. Sau đó, các danh mục$\mathrm{Fun}^L(C,D)$ trong số các diễn viên liền kề bên trái từ $C$ đến $D$, và $\mathrm{Fun}^R(D,C)$ trong số các diễn viên liền kề bên phải từ $D$ đến $C$ là (về mặt kinh điển) tương đương với nhau.

  1. Theo quan điểm này, mệnh đề này chỉ thực sự có ý nghĩa khi $C$$D$ nhỏ, như mặt khác $\mathrm{Fun}(C,D)$Nó quá lớn. (Người ta muốn xem xét các danh mục chức năng như vậy khi$C$$D$có thể sử dụng được (hoặc có thể truy cập được), nhưng chỉ khi hạn chế đối với các chức năng có thể truy cập. Vì vậy, đó là một cuộc thảo luận sẽ xuất hiện ở phần sau của Chương 5.) Sau đó, tuyên bố đủ rõ ràng và áp dụng bằng chứng được đưa ra.

  2. Theo quan điểm này, tôi nghĩ nó giống như trong 1), ngoại trừ việc người ta cũng có thể hình thành kết quả tương tự trong một vũ trụ khác.

  3. Ở đây cũng vậy.

Tuy nhiên, lưu ý rằng như hiện tại, trong 1) mệnh đề này có thể (chưa) được áp dụng trong trường hợp $C$$D$là đoan trang. Trong 2) và 3), (nhỏ-) có thể trình bày là các danh mục lớn đặc biệt, mà kết quả áp dụng. Tuy nhiên, lưu ý rằng các danh mục chức năng và sự tương đương của chúng đều sống trong một vũ trụ lớn hơn và chúng tôi không nhận được thông tin nào về chúng nằm trong$V_{\kappa_0+1}$ hoặc là $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})$.

Đề xuất tiếp theo xem xét danh mục presheaf $\mathcal P(C)=\mathrm{Fun}(C^{\mathrm{op}},\mathrm{Set})$, và bằng chứng là một lập luận điển hình liên quan đến việc đi đến một vũ trụ lớn hơn để giải quyết các vấn đề đồng nhất-mạch lạc.

Đề xuất 5.2.6.3: Để $f: C\to C'$ trở thành người phân tích giữa các danh mục nhỏ và để $G: \mathcal P(C')\to \mathcal P(C)$ trở thành bộ điều khiển cảm ứng của các danh mục đặt trước do bố cục tạo ra với $f$. Sau đó$G$ phù hợp với $\mathcal P(f)$.

Đây $\mathcal P(f)$ được định nghĩa là phần mở rộng bảo quản colimit nhỏ duy nhất của $f$ (dưới nhúng Yoneda).

  1. Ở đây, chúng ta có hai danh mục có kích thước lớp và các chức năng ở giữa chúng, tất cả đều có thể xác định được (phải như vậy). Mệnh đề sẽ yêu cầu chúng ta tìm các phép biến đổi đơn vị và đơn vị (có thể xác định được!), Làm cho một số sơ đồ đi lại. Điều này có vẻ không quá khó. Nhưng trong$\infty$- thể loại, nổi tiếng là khó xác định các functors bằng tay, vì vậy đây thực sự không phải là cách Lurie tiến hành!

  2. Đây $\mathcal P(C)$$\mathcal P(C')$là những danh mục lớn đặc biệt. Trên thực tế, Lurie áp dụng phương pháp nhúng Yoneda lớn trong bằng chứng. Vì vậy, điều này thực sự tạo ra các tính từ đơn vị và counit chỉ trong một số vũ trụ lớn hơn. Như đã thảo luận ở trên, tôi nghĩ rằng bằng chứng này không thực sự cung cấp những gì chúng tôi muốn trong 1)!

  3. Chúng ta có thể tranh luận như Lurie làm để tạo ra dữ liệu trong một số "vũ trụ" lớn hơn. (Chỉnh sửa: Trên thực tế, như Tim Campion đã chỉ ra, người ta phải đi một vòng tối thiểu để chứng minh những gì được viết. Hãy xem nhận xét cho câu trả lời của anh ấy.)

Vì vậy, khi đọc mệnh đề này, trong cả hai hệ thống 2) hoặc 3), người ta nên tạo ra một dấu hiệu tinh thần mà cho đến nay tuyên bố được chứng minh là yếu hơn người ta có thể hy vọng một cách ngây thơ. Nhưng điều này được sửa chữa sau đó, bằng cách quan sát rằng mọi thứ được xác định bởi một lượng nhỏ dữ liệu.

Kết quả: Mặc dù lúc đầu tôi nghĩ sẽ có sự khác biệt đáng kể giữa 2) và 3), tôi thực sự nghĩ rằng không có (hầu như) không có. Một sự khác biệt là$\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$ là một sự bao gồm thích hợp, nhưng trên thực tế là cách để đảm bảo ngăn chặn trong $V_{\kappa_0+1}$ dường như để chứng minh khả năng xác định trong $V_{\kappa_0}$ (ví dụ: bằng cách chứng minh rằng một số chức năng nhất định có thể truy cập được).

OK, bây giờ cho tôi biết tại sao điều này không hoạt động! :-)

12 ColinMcLarty Feb 03 2021 at 00:50

Trả lời câu hỏi này phụ thuộc rất nhiều vào chính xác những gì bạn muốn từ Lý thuyết Topos cao hơn, bởi vì thể hiện sức mạnh logic cao là một mục tiêu khác với việc thể hiện một khung logic thống nhất phù hợp cho hình học đại số và lý thuyết số. Các nền tảng vững chắc thống nhất cho toán học phân loại nói chung là một mục tiêu tốt, và dường như là mục tiêu của nhiều người đóng góp ở đây. Đối với mục tiêu đó, mọi thứ được nói trong phần bình luận và câu trả lời cho câu hỏi này đều có liên quan. Nhưng công việc thích hợp trong hình học và lý thuyết số không đòi hỏi sức mạnh lôgic lớn.

Trong khi HTT gắn bó với các vũ trụ hơn SGA, cả HTT và SGA đều không sử dụng thực sự phương án thay thế tiên đề (rất mạnh). Vì vậy, họ có thể sử dụng các "vũ trụ" yếu hơn hoàn toàn so với của Grothendieck. Là một ví dụ điển hình và đạo đức, Grothendieck, ông chỉ đưa ra một lời kêu gọi đối với sơ đồ tiên đề về sự thay thế. Đó là bằng chứng khá quan trọng của anh ấy rằng mọi loại AB5 với một tổ máy phát điện đều có đủ hướng dẫn. Và việc sử dụng thay thế này hóa ra không thể loại bỏ được. Nó hoạt động, nhưng Grothendieck thực sự không cần nó để đạt được kết quả của mình.

Để mở rộng việc sử dụng thay thế của Grothendieck: Reinhold Baer vào những năm 1940 đã sử dụng quy nạp vô hạn (yêu cầu sơ đồ tiên đề thay thế) để chứng minh các mô-đun (trên bất kỳ vòng nào cho trước) có đủ số lượng. Anh ấy đã có ý thức khám phá các kỹ thuật chứng minh mới và đã thu được một kết quả tốt. Tohoku của Grothendieck đưa ra bằng chứng đó dưới dạng hiển thị mọi loại AB5 với một tập hợp máy phát điện nhỏ có đủ số lượng tử - và một vài năm sau, Grothendieck nhận thấy đây chính xác là định lý mà ông cần cho hệ phương trình topos. Baer và Grothendieck đều có những mục tiêu thiết thực, không ràng buộc với mối quan tâm về nền tảng, nhưng cả hai đều muốn có được nền tảng đúng đắn. Và họ đã làm. Nhưng hóa ra họ có thể có được những định lý tương tự đó, một cách chính xác, không cần thay thế, bằng các chứng minh gần giống nhau, bằng cách chỉ định các bộ hàm đủ lớn để bắt đầu (sử dụng bộ công suất, nhưng không thay thế). Có những kết quả thực sự yêu cầu lược đồ tiên đề thay thế. Nhưng những kết quả đó hiếm khi xảy ra ngoài nghiên cứu cơ bản.

Nhiều người đến từ các góc độ rất khác nhau (một số nhà logic học, một số không thích logic) kể từ những năm 1960 đã nhận xét rằng trong bối cảnh của hình học đại số và lý thuyết số, cường độ logic cao của tiên đề vũ trụ của Grothendieck, là một sản phẩm phụ thực sự không được sử dụng của Mong muốn của Grothendieck về một khuôn khổ thống nhất cho hệ phương trình. Điều đó giờ đây có thể được thực hiện khá chính xác: Toàn bộ bộ máy Grothendieck không chỉ bao gồm hệ phương trình hàm bắt nguồn của các toposes mà còn có 2 danh mục toposes và các danh mục dẫn xuất, có thể được hình thức hóa gần giống như cách nó được Grothendieck chính thức hóa, nhưng ở sức mạnh logic kém xa Zermelo-Fraenkel hay thậm chí là lý thuyết tập hợp Zermelo. Điều này cũng đúng với HTT. Bạn có thể lấy nó mà không cần đến các vũ trụ không thể tiếp cận  hoặc phản chiếu miễn là bạn không cần sức mạnh thay thế khổng lồ (và hiếm khi được sử dụng). Bằng chứng thực sự đã không được đưa ra cho HTT. Nó dành cho việc sử dụng vũ trụ của Grothendieck . Có vẻ như rõ ràng điều tương tự cũng sẽ hoạt động đối với HTT.

Sức mạnh lôgic cần thiết đã được thể hiện theo những cách không quan tâm: Lý thuyết loại đơn giản (có số học), Số học bậc hữu hạn, Lý thuyết cơ bản về loại tập hợp, lý thuyết tập hợp lượng tử giới hạn Zermelo. Nói một cách đơn giản, bạn đặt ra một tập hợp các số tự nhiên và bạn đặt ra rằng mọi tập hợp đều có một tập hợp lũy thừa, nhưng bạn không đặt ra lặp lại không giới hạn của các tập hợp lũy thừa. Một lý thuyết khá ngây thơ về vũ trụ có thể được coi là bảo thủ hơn bất kỳ lý thuyết nào trong số này (cách lý thuyết tập hợp của Godel-Bernays bảo thủ hơn ZFC) và phù hợp với tất cả bộ máy cấu trúc lớn của trường Grothendieck.  

9 RodrigoFreire Jan 28 2021 at 20:59

Tôi sẽ xem xét một phần mở rộng thận trọng của ZFC thu được từ ZFC bằng cách bổ sung một hằng số $\alpha$ và các tiên đề sau:

  1. $\alpha$ là một thứ tự ($Ord(\alpha)$).

  2. Câu $\phi\leftrightarrow\phi^{V_\alpha}$, cho mỗi câu trong ngôn ngữ gốc $\phi$ (lược đồ tiên đề).

$V_{\alpha}$ cư xử như $V$(cho tất cả các câu trong ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp). Nếu cần hai (hoặc nhiều) vũ trụ, người ta có thể thêm một hằng số khác$\beta$ với các tiên đề tương ứng, và tiên đề $\alpha<\beta$.

Dễ dàng chứng minh rằng lý thuyết kết quả là bảo thủ so với ZFC.

Giả định rằng $\phi$ có thể chứng minh được từ các tiên đề mới (tiên đề sử dụng $\alpha$), trong đó $\phi$là ngôn ngữ gốc. Vì bất kỳ bằng chứng nào là hữu hạn, nên có vô số câu$\phi_1$, ..., $\phi_n$ như vậy mà

$Ord(\alpha)\wedge(\phi_1\leftrightarrow\phi_1^{V_{\alpha}})\wedge...\wedge(\phi_n\leftrightarrow\phi_n^{V_{\alpha}})\rightarrow \phi$

có thể chứng minh được mà không có bất kỳ tiên đề mới nào. Do đó, người ta có thể nghĩ đến$\alpha$như một biến tự do và câu trên có thể chứng minh trong ZFC (định lý về hằng số). Từ$\alpha$ không xảy ra ở $\phi$, hàm ý sau có thể chứng minh được trong ZFC ($\exists$-Giới thiệu):

$\exists\alpha(Ord(\alpha)\wedge(\phi_1\leftrightarrow\phi_1^{V_{\alpha}})\wedge...\wedge(\phi_n\leftrightarrow\phi_n^{V_{\alpha}}))\rightarrow \phi$

Bây giờ, nguyên lý phản xạ của ZFC nói rằng tiền đề là một định lý ZFC. Từ modus ponens, ZFC chứng minh$\phi$.

Vì vậy, bạn có thể làm việc với các tiên đề mới và $V_{\alpha}$ hoạt động như một vũ trụ và mọi thứ được chứng minh không đề cập đến $\alpha$ có thể được chứng minh đã có trong ZFC.

7 PeterScholze Jan 31 2021 at 06:25

Một câu hỏi xuất hiện trong phần bình luận là về động cơ để đặt câu hỏi. Hãy để tôi cố gắng giải quyết vấn đề này ở đây.

Trước hết, đó là về học tập! Như tôi đã đề cập trong câu hỏi ban đầu, tôi đã tự đùa giỡn với một số giới hạn chính "ngu ngốc", và chỉ sau này mới biết về nguyên lý phản xạ, vì vậy tôi muốn hiểu nó có thể làm gì (và những gì nó không thể làm), và liệu tôi có bằng cách nào đó có thể tự động chuyển bất kỳ phiên bản phức tạp nào của các ước tính như vậy vào máy này. Vì vậy, đó là điều bình thường khi bạn chỉ loanh quanh trong một căn phòng tối và rất muốn căn phòng được chiếu sáng! Vì vậy, cảm ơn tất cả các bạn vì những câu trả lời sáng suốt!

Một lý do khác là gần đây tôi hơi thất vọng với giải pháp của vũ trụ Grothendieck cho vấn đề đang diễn ra. Hãy để tôi giải thích.

Tôi rất muốn nói về phạm trù của tất cả các tập hợp, hoặc tất cả các nhóm, v.v., và muốn chứng minh các định lý về nó. Và, ít nhất trong phiên bản von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) của lý thuyết ZFC cho phép các lớp, đây là một khái niệm hoàn toàn hợp lệ. Vì vậy, về mặt bản thể học, tôi thấy rất hài lòng khi làm việc trong bối cảnh này, và rất muốn định lý hàm hàm liền kề là một định lý về các phạm trù (có thể trình bày) theo nghĩa đó.

Giờ đây, các danh mục có thể sử dụng được xác định bởi một lượng nhỏ dữ liệu, vì vậy người ta luôn có thể làm việc với lượng dữ liệu nhỏ này và theo dõi cẩn thận các kích thước tương đối. Trên thực tế, nhiều bằng chứng trong HTT rõ ràng theo dõi các kích thước tương đối như vậy, nhưng vẫn có một vài điểm mà trước tiên, tốt hơn là bạn nên có "cái nhìn rộng hơn" và xem các danh mục lớn này như thể chúng nhỏ.

Thật vậy, định lý hàm hàm liền kề nói về các hàm hàm giữa các danh mục lớn, và thật khó để nói về điều này từ bên trong NBG / ZFC. Lưu ý rằng phát biểu của định lý hàm hàm liền kề có ý nghĩa hoàn hảo - nó chỉ yêu cầu rằng tất cả dữ liệu của hàm có thể xác định được. Nhưng hơi khó chịu khi cố gắng nói những điều này từ "bên trong". Vì vậy, chắc chắn sẽ rất hay nếu có một số loại lý thuyết tổng hợp sử dụng để tranh luận về các danh mục lớn này, và giả vờ rằng chúng là nhỏ. Câu hỏi tinh tế về "khả năng xác định từ bên trong" có thể bị mất trước trong lý thuyết tổng hợp này, nhưng tôi coi câu hỏi về "khả năng xác định từ bên trong" này là trọng tâm, bởi vì sau tất cả những gì tôi muốn là một định lý về tất cả các tập hợp, vì vậy tôi ' Tôi ổn với việc phải chú ý một chút đến nó - và, để loại bỏ điểm mấu chốt, hóa ra đây chính xác là sự khác biệt giữa làm việc với các vũ trụ Grothendieck và làm việc với các "vũ trụ" của Feferman.

Vì vậy, đây là điều mà các vũ trụ Grothendieck hướng tới: Chúng luôn cung cấp cho bạn một vũ trụ lớn hơn cho bất kỳ vũ trụ nào bạn hiện đang làm việc. Tôi thấy sự tồn tại của các vũ trụ Grothendieck là hoàn toàn trực quan và trên thực tế, việc xác định sự tồn tại của chúng dường như hoàn toàn ngang bằng với việc đặt ra một vô hạn đặt ở vị trí đầu tiên: Bạn chỉ cho phép thu thập mọi thứ bạn đã có vào một thực thể lớn hơn của riêng nó.

Nhưng bây giờ đột nhiên tôi nghĩ về tất cả các bộ được gọi là bộ nhỏ , và cũng có nhiều bộ lớn hơn. Vì vậy, ngay cả khi tôi chứng minh một định lý hàm hàm liền kề trong cài đặt này, nó không còn là một định lý về hàm hàm giữa các loại của tất cả các tập hợp / nhóm / ..., mà chỉ là một trong các hàm chức năng giữa các tập hợp / nhóm nhỏ / .... Vì vậy, nếu bạn Hãy nghĩ về nó, ngay cả trong vũ trụ ZFC + Grothendieck, bạn sẽ không bao giờ chứng minh được định lý mà bạn thực sự muốn, về phạm trù của tất cả các tập hợp. (Thực ra, cho đến gần đây, tôi đã giả định rằng định lý hàm hàm liền kề (đối với$\infty$-categories) là một tuyên bố của ZFC đã được chứng minh trong "ZFC + Universes", nhưng điều đó không hoàn toàn đúng: Tuyên bố đã được chứng minh thậm chí chỉ có thể được xây dựng trong ZFC + Universes.)

Điều đã được chứng minh là định lý hàm hàm liền kề là nhất quán . Cụ thể, giả sử tính nhất quán của các trường đại học ZFC +, bây giờ bạn đã tạo ra một mô hình của ZFC - mô hình của các tập hợp nhỏ trong mô hình các trường đại học ZFC + của bạn - trong đó định lý là đúng. Vì vậy, bây giờ bạn có thể làm việc trong lý thuyết "ZFC + định lý hàm hàm liền kề", trong đó định lý hàm hàm liền kề có thể được áp dụng cho danh mục của tất cả các tập hợp / nhóm / ..., nhưng điều đó chắc chắn giống như một trò gian lận đối với tôi. Bạn thậm chí đã không chứng minh được rằng "ZFC + các trường đại học + định lý hàm hàm liền kề" là nhất quán! (Bạn sẽ nhận được điều đó nếu bạn bắt đầu với sự nhất quán của nhiều hơn một chút so với ZFC + Đại học, yêu cầu$\kappa$ như vậy mà $V_\kappa$thỏa mãn ZFC + Đại học. Một lần nữa, điều đó có vẻ như là một giả định hoàn toàn công bằng đối với tôi - cứ tiếp tục.) Nhưng bây giờ bạn có thể thấy nguy cơ rằng bạn vô tình leo lên bậc thang nhất quán khi bạn ngầm bắt đầu gọi ra ngày càng nhiều định lý được chứng minh cho các tập hợp nhỏ. cho tất cả các bộ.

Sẽ tốt hơn nhiều nếu bạn biết rằng, trong vũ trụ ZFC + Grothendieck, mọi thứ bạn chứng minh về các tập hợp nhỏ cũng là một định lý về phạm trù môi trường xung quanh của tất cả các tập hợp. Điều này không tự động, nhưng bạn có thể thêm nó dưới dạng một lược đồ tiên đề. Mike Shulman trong Phần 12 của Lý thuyết tập hợp cho lý thuyết phạm trù (arXiv: 0810.1279) thảo luận về ý tưởng này (mà anh ta ký hiệu là ZMC): Tôi thấy nó khá hài lòng về mặt bản thể học, nó dường như cũng có một tiên đề rất đơn giản (thậm chí còn đơn giản hơn ZFC!), nhưng

a) Đối với tôi, lược đồ tiên đề bổ sung này không hoàn toàn hiển nhiên: Tại sao mọi thứ đúng trong các tập hợp nhỏ cũng đúng với tất cả các tập hợp? (Đặc biệt nếu ngay từ đầu chúng tôi đã gặp một số khó khăn khi chứng minh kết quả mong muốn. Ngoài ra, hãy lưu ý rằng nó chắc chắn không phù hợp với bất kỳ khái niệm nào về tập hợp nhỏ: Thay vào đó, lược đồ tiên đề đảm bảo rằng có một số khái niệm về tập hợp nhỏ mà loại này sắp xếp phản ánh được giữ. Bây giờ điều này có vẻ hơi khó hiểu đối với tôi vì ngay từ đầu tôi chưa bao giờ muốn các bộ nhỏ, vì vậy bây giờ tôi đang đặt chúng và cũng yêu cầu rằng chúng vẫn phản ánh toàn bộ hành vi của tất cả các bộ. Có thể ổn, nhưng không tự hiển nhiên với tôi.)

b) độ nhất quán của lược đồ tiên đề này cao hơn đáng kể: Nó giống như độ nhất quán của một thẻ bài Mahlo. Điều này vẫn còn thấp khi các hồng y lớn đi, nhưng nó cao hơn nhiều so với vũ trụ Grothendieck đơn thuần (thực sự thấp ở cuối hệ thống phân cấp).

Về a), thực tế là chúng ta có thể chứng minh tính nhất quán của định lý hàm liền kề từ tính nhất quán của các vũ trụ Grothendieck hướng đúng hướng, nhưng bản thân điều này không đảm bảo rằng cả hai cùng nhau là nhất quán. Tôi có thể tưởng tượng rằng tôi có thể tự thuyết phục mình rằng lược đồ tiên đề là hợp lý, nhưng tôi chắc chắn nghĩ rằng nó cần nhiều sự biện minh hơn là các vũ trụ Grothendieck đơn thuần. (Câu hỏi phụ: Các hồng y lớn đến mức nào mà người ta có thể biện minh bằng cách sử dụng ý tưởng "cho phép thu thập lại mọi thứ chúng ta đã có"? Tôi không chắc đây có phải là một câu hỏi hoàn toàn được xác định rõ ràng hay không ... nhưng đối với tôi, a Cardinal có thể đo lường chắc chắn không thuộc loại đó (nhưng tôi rất vui khi được sửa lại), vì nó dường như cho thấy sự xuất hiện của các tính năng tổ hợp mới.)

Một lý do khác mà gần đây tôi hơi không hài lòng với các vũ trụ Grothendieck là mặc dù theo một nghĩa nào đó, chúng tôi muốn sử dụng chúng để có thể bỏ qua sự tinh vi của lý thuyết thiết lập, theo một số cách, chúng quay lại cắn bạn, như bây giờ bạn phải xác định trong vũ trụ nào có một số vật sống. Đôi khi, bạn thậm chí có thể phải chỉ định một số vũ trụ khác nhau cho các loại vật thể khác nhau (hãy nghĩ đến việc phân chia các tập hợp vô hạn), và tôi thấy rằng nó nhanh chóng trở nên khá xấu xí. Tôi thà để tất cả các vật thể sống cùng nhau trong một vũ trụ.

Vì vậy, trong khi suy nghĩ về việc nghiên cứu các tập hợp vô hạn, tôi đã tìm ra giải pháp chỉ với một vũ trụ tuyệt vời hơn và dễ chịu hơn về mặt bản thể học, và giải pháp này (các tập hợp cô đặc) có thể được chính thức hóa trong ZFC mà không gặp khó khăn gì.

OK, vì vậy tôi khẳng định rằng vũ trụ Grothendieck đã không thực sự giải quyết được vấn đề mà họ đặt ra để giải quyết, như

a) họ vẫn không cho phép bạn chứng minh các định lý về phạm trù của tất cả các tập hợp / nhóm / ... (ngoại trừ kết quả nhất quán, hoặc theo các tiên đề cơ bản lớn hơn)

b) làm việc với chúng, bạn vẫn phải lo lắng về vấn đề kích thước - danh mục tất cả các bộ của bạn giờ đây được phân tầng thành các bộ với đủ loại kích thước khác nhau (tức là trong các vũ trụ khác nhau).

Hơn nữa, chúng cũng làm tăng sức mạnh nhất quán.

Bây giờ, sau cuộc thảo luận tuyệt vời này ở đây, tôi nghĩ rằng đề xuất của Feferman thực sự tốt hơn nhiều. Tuy nhiên, như Mike Shulman cũng đã nhận xét, tôi coi các tiên đề của Feferman không mô tả bất kỳ thế giới đúng về mặt bản thể học nào, mà tôi coi các "vũ trụ" trong lý thuyết của Feferman chỉ đơn thuần là tiện nghi, để nói về các phạm trù lớn như thể chúng nhỏ. Nói cách khác, lý thuyết của Feferman chính xác cung cấp cho bạn một lý thuyết tổng hợp để tranh luận về các phạm trù lớn như vậy từ "bên ngoài". Nhưng đó là một lý thuyết mà tôi sẽ chỉ sử dụng để đưa ra một bằng chứng về một định lý ZFC. So sánh với vũ trụ Grothendieck, lý thuyết của Feferman

a) không cho phép bạn chứng minh các định lý về phạm trù của tất cả các tập hợp / nhóm / ..., bởi vì nó bao gồm một cách rõ ràng một lược đồ tiên đề mà tất cả các định lý về các tập hợp nhỏ cũng là các định lý về tất cả các tập hợp.

b) Tất nhiên, trong một bằng chứng của một định lý ZFC đưa ra một số vấn đề về kích thước không đáng kể, rất đáng hoan nghênh rằng lý thuyết cho phép bạn nói về các kích thước khác nhau. Hơn nữa, nó làm như vậy theo cách mà bạn vẫn có thể áp dụng tất cả các tiên đề của ZFC cho từng "vũ trụ" và cũng đang quan tâm đến "hậu trường" về cách viết lại mọi thứ theo các giới hạn chính (có thể cực kỳ tinh vi) trong chính ZFC. Vì vậy, nó giống như một ngôn ngữ lập trình cấp cao cho các đối số liên quan đến các ước tính cơ bản khó trong ZFC.

Ngoài ra, nó không làm tăng sức mạnh nhất quán, và trên thực tế, bất kỳ phát biểu nào của ZFC được chứng minh bằng ngôn ngữ này đều là định lý của ZFC. (Như tôi đã nhắc lại ở trên, chúng ta cũng có thể có a) + b) với vũ trụ Grothendieck, nhưng sau đó sẽ đạt đến sự nhất quán của một hồng y Mahlo.)

Vì vậy, kết quả là tôi nghĩ các vũ trụ của Feferman làm tốt hơn nhiều trong việc giải quyết vấn đề cung cấp một lý thuyết siêu để "nói về các phạm trù lớn như thể chúng nhỏ" hơn so với các vũ trụ của Grothendieck.

Hãy để tôi thêm một số lý do cuối cùng cho việc đặt câu hỏi. Tôi nghĩ rằng các kỹ thuật phân loại cao hơn như những kỹ thuật được đặt ra trong HTT có tầm quan trọng rất trung tâm, không chỉ trong cấu trúc liên kết đại số nơi chúng bắt nguồn, mà trong tất cả toán học. Tôi chắc chắn có thể chứng thực điều đó liên quan đến lý thuyết số và hình học đại số. Vì vậy tính trung tâm của họ cũng là một lý do quan trọng để phân tích sức mạnh nhất quán của họ.

Đọc HTT là một vấn đề rất quan trọng - nó dài và phức tạp. Tuy nhiên, một số đồng nghiệp về lý thuyết số đã nói rằng một trong những lý do chính khiến họ không thể đọc HTT là nó sử dụng vũ trụ . Cụ thể là, họ đã quá quen với ZFC (và kiểm tra cực kỳ cẩn thận!) Đến mức họ sẽ tự động cố gắng loại bỏ bất kỳ việc sử dụng vũ trụ nào trong một cuộc tranh cãi. Bây giờ trong SGA, ít nhất nếu bạn chỉ quan tâm đến các ứng dụng cho hệ phương trình etale của các sơ đồ hợp lý, thì đây là điều bạn có thể làm bằng tay - ví dụ, chỉ cần thêm một số giả định về tính để biến mọi thứ trở nên nhỏ hơn. Tuy nhiên, trong HTT, tôi không thấy bất kỳ cách nào mà ai đó có thể đưa các giới hạn chính khi bạn đọc cùng - các đối số quá phức tạp đối với điều này.

Vì vậy, bây giờ tôi hy vọng tôi có thể nói với họ rằng họ có thể kiểm tra xem mọi thứ đều hoạt động trong ZFC và họ vẫn có thể đọc HTT (về cơ bản) như được viết, nếu họ đọc nó trong lý thuyết tập hợp của Feferman. Nếu họ kiểm tra cẩn thận (mà họ sẽ làm), họ có thể vẫn cần điền vào một bổ đề nhỏ ở đây và một số đối số bổ sung nhỏ ở đó - nhưng dù sao thì họ cũng phải làm như vậy, trong bất kỳ cuốn sách nào ~ 1000 trang, và tôi có thể tưởng tượng rằng chưa đến một nửa số nhận xét phụ này liên quan đến việc thay thế các vũ trụ Grothendieck bằng các "vũ trụ" của Feferman. Nếu ai đó thực sự đảm nhận dự án đó, tất nhiên họ xứng đáng được ghi nhận hoàn toàn nếu họ thành công trong công việc quan trọng này!

Hãy để tôi kết thúc bằng một ghi chú rất ngắn gọn về điều dường như là điểm nổi bật chính trong bản dịch lý thuyết của Feferman. Tôi đánh giá cao quan điểm mà Tim Campion đã nêu ra trong câu trả lời của anh ấy, và bây giờ tôi thấy rằng điều này cũng được đề cập trong câu trả lời thứ hai của Jacob Lurie. Đại khái, nó là như sau. Nếu$C$ là một danh mục có thể trình bày được, sau đó có một số danh mục nhỏ $C_0$ như vậy mà $C=\mathrm{Ind}_\kappa(C_0)$

cho một số hồng y thông thường $\kappa$, liền kề tự do tất cả các nhỏ $\kappa$-colimits lọc. Điều này làm cho$C$ tự nhiên là một sự kết hợp của $C_\tau$của, ở đâu $C_\tau$ chỉ thu thập $\tau$-nhỏ $\kappa$-colimits lọc. Đây$\tau$ là một hồng y bình thường như vậy $\tau\gg \kappa$. Cấu trúc ngày càng tăng này của$C$ như một sự kết hợp của $C_\tau$là trọng tâm trong lý thuyết về các phạm trù có thể trình bày được, nhưng các cấp độ thực sự được thống kê bởi (một số) các vị hồng y thông thường $\tau$. Nếu bạn tăng vũ trụ của mình, thì bạn cũng nhận được một phiên bản lớn hơn$C'$ của $C$ chính nó, và trong vũ trụ Grothendieck $C$ bây giờ là một trong những lớp đẹp $C'_\tau$ của $C$, Ở đâu $\tau$là hồng y của vũ trụ trước. Nhưng trong vũ trụ của Feferman, điều này$\tau$không thường xuyên. Điều này có thể làm cho một số lập luận trở nên tinh vi hơn, nhưng tôi hy vọng rằng người ta thường có thể giải quyết vấn đề này bằng cách chỉ cần nhúng$C$ thành một số $C'_\tau$ với $\tau$ một số hồng y thông thường lớn hơn hồng y giới hạn của vũ trụ nhỏ hơn.

2 TimCampion Jan 29 2021 at 12:24

Để phản ứng với việc chỉnh sửa mà mọi thứ đóng đinh vào một hệ thống chính thức liên quan đến các hồng y $\kappa_{-1} < \kappa_0 < \kappa_{1/2} < \kappa_1$:

Tôi sẽ đi ra ngoài một chi tiết có lẽ khó hiểu hơn và dự đoán rằng để phù hợp với Chương 1-4 vào hệ thống chính thức này, sẽ không cần số học cơ bản thực sự. Thay vào đó, đối với phần này của cuốn sách, tất cả những gì bạn phải làm là xem qua và thêm vào các giả thuyết phát biểu định lý khác nhau của dạng "$X$$\kappa_{-1}$-small ". Rốt cuộc, phần này của cuốn sách thực sự chỉ đề cập đến các đối tượng nhỏ, ngoại trừ một số đối tượng lớn cụ thể như danh mục các tập hợp đơn giản nhỏ, danh mục các danh mục đơn giản nhỏ, v.v. và những thứ như các loại lát cắt của chúng. Nhiều cấu trúc mô hình khác nhau được xây dựng, nhưng tôi tin rằng trong mỗi trường hợp, người ta có thể sử dụng trường hợp đặc biệt của đối số đối tượng nhỏ để tạo ra các rung động / rung động xoay vòng giữa các đối tượng khả dụng hữu hạn, do đó không cần cảm ứng vô hạn. Về mặt nó, nắn thẳng / không nắn có vẻ giống như các công trình có thể đang sử dụng lý thuyết tập hợp theo những cách nghiêm túc. Nhưng tôi sẽ tiếp tục và dự đoán rằng chúng không gây ra vấn đề gì cho hệ thống chính quy được đề xuất.

Chương 5 trở nên khó chịu hơn. Tôi tin rằng người ta sẽ phải thực hiện một số lựa chọn cẩn thận về các định lý cốt lõi của khả thi ($\infty$)-Thể loại. Điều làm cho các danh mục khả dụng được đánh dấu là chúng đóng gói định lý hàm hàm liền kề rất rõ ràng, nhưng như bạn nói, định lý hàm hàm liền kề thông thường đi kèm với các cảnh báo trong cài đặt này. Tôi có thể đi xa hơn khi nói rằng toàn bộ quan điểm của việc suy nghĩ về các danh mục có thể trình bày ngay từ đầu đã hoàn toàn bị hủy bỏ trong cài đặt này. Bạn sẽ không thể chứng minh những điều cơ bản như "danh mục có thể trình bày chính xác là bản địa hóa có thể truy cập của danh mục có sẵn". Tôi dự đoán rằng bất kỳ lựa chọn nào được đưa ra về việc xây dựng các phiên bản yếu của các định lý cốt lõi của các phạm trù khả thi trong thiết lập này, sẽ có một số ứng dụng hoặc ứng dụng tiềm năng gặp phải.

Chương 5 và 6 cũng chứa một số định lý về các loại rất lớn cụ thể như $\infty$-category of presentable $\infty$-categories và các $\infty$-category of $\infty$-topoi [1]. Hệ thống này có vẻ là như vậy rằng điều này sẽ không thực sự là một vấn đề cho mỗi gia nhập , ngoại trừ những vấn đề gặp phải trong lý thuyết presentability cơ bản bây giờ sẽ được pháp hữu vi. Bạn sẽ không thể chứng minh điều đó$Pr^L$ là kép với $Pr^R$. Bạn sẽ không thể chứng minh định lý Giraud (dù sao thì các định nghĩa cũng sẽ thay đổi, vì vậy tôi nên làm rõ: bạn sẽ không thể chứng minh rằng các bản địa hóa chính xác có thể truy cập được của các danh mục presheaf giống như các danh mục nhỏ cục bộ danh mục thỏa mãn một danh sách các điều kiện về tính đầy đủ, thế hệ và độ chính xác). Vì vậy, bất kỳ định lý nào về$\infty$-topoi mà bằng chứng tiến hành bằng cách bắt đầu với trường hợp presheaf và sau đó bản địa hóa sẽ phải được suy nghĩ lại hoàn toàn.

Có lẽ tôi không có cơ sở ở đây, nhưng tôi tin rằng cần phải có thêm công việc đáng kể và những ý tưởng toán học thực sự mới cho Chương 5 và 6, và kết quả sẽ là một lý thuyết về cơ bản khó sử dụng hơn.

Ngược lại, tôi nghĩ nếu bạn sẵn sàng hạn chế sự chú ý vào các danh mục lớn có thể xác định được từ các thông số nhỏ, thì mặc dù bạn sẽ thiếu khả năng tuyệt vời để nói "chúng tôi đã chứng minh điều này cho các danh mục nhỏ nhưng bây giờ chúng tôi có thể áp dụng nó cho các danh mục lớn những cái ", bạn sẽ kết thúc với một lý thuyết hữu dụng hơn nhiều về khả năng hiển thị mà không cần rời khỏi ZFC.

[1] Trên thực tế, trong cơ sở thông thường, các danh mục này (tương đương) chỉ lớn và không lớn lắm (chính xác hơn, chúng có $\kappa_0$-nhiều đồ vật và $\kappa_0$-size homs), nhưng cần phải có một số lượng lớn công việc để thể hiện điều này. Liệu điều đó có còn xảy ra trong hệ thống chính quy này không? Tôi không chắc.


CHỈNH SỬA: Một bình luận dài để đáp lại câu trả lời của Peter Scholze .

  • Một điều tôi vừa nhận ra là nếu$\kappa_0$ Không phải là $\beth$-fixed-point, sau đó không phải mọi bộ trong $V_{\kappa_0}$ có cardinality $<\kappa_0$, để những quan niệm về "sự nhỏ bé" được nhân lên. Thật hạnh phúc, tôi nghĩ rằng hệ thống chính thức của bạn chứng minh rằng$V_{\kappa_0}$$\Sigma_1$-replacement, ngụ ý rằng đó là một $\beth$-fixed-point. Ngăn ngừa khủng hoảng!

  • Có lẽ cách tiếp cận sử dụng một cách có hệ thống các giả thuyết có thể xác định được trong một "bối cảnh vũ trụ" sẽ khả thi - kết hợp "tốt nhất của cả hai thế giới". Một điều thú vị là mặc dù bạn đang sử dụng các giả thuyết siêu toán học một cách rõ ràng, có vẻ như bạn sẽ vẫn có thể phát biểu và chứng minh các định lý này dưới dạng các định lý đơn lẻ chứ không phải là giản đồ.

  • Tôi hơi bối rối về Định đề 5.2.6.3 (mệnh đề cuối cùng mà bạn thảo luận, và là phiên bản nhỏ của định lý hàm hàm liền kề). Tôi cho rằng danh mục presheaf$P(C)$ sẽ được xác định để bao gồm những người vui nhộn đó $C^{op} \to Spaces$ nằm trong $Def(V_{\kappa_0})$. Khi chúng ta chuyển sang một vũ trụ lớn hơn, quá trình chuyển đổi thường khá liền mạch, bởi vì chúng ta mong đợi$P(C)$ để có tất cả các colimit được lập chỉ mục bởi $\kappa_0$-các danh mục nhỏ - một thuộc tính hoàn toàn tự nhiên để làm việc với $V_{\kappa_1}$. Thật vậy, bước đầu tiên của bằng chứng của Lurie về 5.2.6.3 là chỉ ra rằng một đường liền kề bên trái tồn tại bằng cách sử dụng thực tế rằng$P(C)$có tất cả các colimit nhỏ [2]. Tuy nhiên, trong bối cảnh hiện tại, chúng ta không bao giờ có thể cho rằng$\kappa_0$ là thường xuyên và do đó chúng tôi không bao giờ có thể cho rằng $P(C)$có tất cả các colimit nhỏ. Điều tốt nhất chúng ta có thể nói là$V_{\kappa_0}$ suy nghĩ $P(C)$có tất cả các colimit nhỏ. Miễn là chúng tôi đang làm việc$V_{\kappa_0}$, đặc tính này "tốt" như thực sự có tất cả các colimit nhỏ. Nhưng khi chúng tôi chuyển lên$V_{\kappa_1}$, đột nhiên chúng ta phải nghĩ xem nó là gì - một thuộc tính siêu toán học. Có lẽ sau này tôi sẽ ngồi xuống và cố gắng xem bằng chứng về 5.2.6.3 Lurie có thể được thực hiện để làm việc trong môi trường này, nhưng tôi nghĩ rằng thoạt nhìn nó không rõ ràng.

[2] Chỉ sau khi xác minh sự tồn tại một cách trừu tượng theo cách này, anh ta mới chỉ ra rằng cạnh trái phải là hàm được chỉ định. Tất nhiên, thao tác này thực sự là một sự phức tạp bổ sung đi kèm với$\infty$-categorical setting - trong các danh mục thông thường, các công thức cho hai hàm có thể được xác minh trực tiếp là liền nhau, nhưng trong $\infty$-categories công thức cho liền kề bên trái rõ ràng không phải là công thức.

© Copyright 2021 - 2022 | vngogo.com | All Rights Reserved