Con đường đến với cơ học lượng tử, Phần 7: Hàm Delta Dirac

Mar 23 2022
Hàm delta Dirac cho phép chúng ta lập mô hình nguồn điểm hoặc xung. Các hàm của Green đưa ra phản hồi Một số bài báo trước, chúng ta đã có thể suy ra Phương trình Poisson từ thực tế là các tính chất nhất định tuân theo luật nghịch đảo bình phương.

Hàm delta Dirac cho phép chúng ta lập mô hình nguồn điểm hoặc xung. Các chức năng của Green đưa ra phản hồi

Chủ nghĩa tối giản.

Một số bài báo trước , chúng ta đã có thể suy ra Phương trình Poisson từ thực tế là các tính chất nhất định tuân theo luật bình phương nghịch đảo. Trong bài viết này, chúng ta sẽ suy ra luật bình phương nghịch đảo từ Phương trình Poisson bằng cách giới thiệu phương pháp của các hàm Green.

Kiểm tra việc hiểu của bạn

Những câu hỏi này tập trung vào việc làm việc với các chức năng đặc biệt mà chúng tôi đã giới thiệu và làm việc với các chức năng của Green. Như mọi khi, ngay cả khi bạn không giải được, hãy thử đưa ra một câu trả lời sai và chỉ ra lý do tại sao sai.

Khu vực bề mặt

Sử dụng tích phân ba chiều, hàm Dirac delta và hàm Heaviside, hãy viết một công thức rõ ràng cho

  1. Diện tích hình tròn bán kính R.
  2. Chu vi hình tròn bán kính R.
  3. Diện tích mặt cầu có bán kính R.
  4. Diện tích bề mặt của hình trụ có bán kính R và chiều cao Z.
  5. Diện tích bề mặt của hình nón có chiều cao Z và chiều cao nghiêng R.

Tìm hàm Green cho phương trình vi phân

Mật độ tính phí

Viết một hàm cho mỗi sự phân bố điện tích sau đây.

  • Một hình trụ bán kính R và chiều cao h với mật độ điện tích đều.
  • Một đĩa mỏng bán kính R.
  • Một mặt phẳng vô hạn của mật độ điện tích đều.
  • Một mặt phẳng vô hạn có mật độ điện tích đều với một lỗ tròn được khoét ra khỏi nó.
  • Một hình nón rỗng có mật độ điện tích đều với đầu của nó bị cắt. Chiều cao là h , bán kính đáy là R và lượng cắt bỏ là h₀ . Hình nón không có đáy hoặc đỉnh tương tự như nón giao thông hoặc loa phóng thanh.
  • Một hình trụ bán kính R và chiều cao h với một nửa có mật độ điện tích + ρ₀ và nửa còn lại có mật độ điện tích - ρ₀ .

Điện tích

Đối với mỗi mật độ điện tích được cho trong phần Mật độ điện tích, hãy sử dụng dạng tích phân của Công thức Poisson để tìm điện thế. Nếu bạn không thể giải nó một cách tượng trưng (điều mà thậm chí tôi có lẽ không thể), hãy thử tìm tiềm năng ở những điểm đơn giản như tại bất kỳ điểm nào dọc theo trục đối xứng hoặc lập trình máy tính để tính toán nó cho bạn.

Nguồn điểm

Đối với bài viết này, chúng tôi sẽ tập trung vào Phương trình Poisson

trong đó ϕ là thế năng, ρ là mật độ điện tích và ε₀ là hằng số điện. Giả sử chúng ta có một điện tích điểm duy nhất, giống như một electron. Làm thế nào chúng ta có thể viết mật độ điện tích trong Cơ học cổ điển?

Mô hình và Phương trình

Hiện tại, tôi sẽ mô hình hóa một electron như một quả cầu rắn có mật độ điện tích không đổi và bán kính R. (Về mặt kỹ thuật, đó là một quả bóng , không phải quả cầu vì một quả cầu chỉ bao gồm bề mặt chứ không phải bên trong.) Đầu tiên, chúng ta có một điện tích cơ bản, - e , trải ra qua một thể tích (4/3) π R³ , vì vậy chúng ta có mật độ điện tích là ρ₀ = –3 e / (4 π R³) . Thứ hai, mật độ điện tích này chỉ áp dụng bên trong quả cầu. Bên ngoài quả cầu, mật độ điện tích bằng không. Để biểu diễn chính thức hàm, tôi sẽ giới thiệu một hàm được gọi là hàm Heaviside .

Nếu bạn là một kỹ sư, bạn có thể biết hàm này là hàm bước , đây là một cái tên phù hợp vì nó trông giống như một bước.

Với hàm này, chúng ta có thể biểu diễn mật độ điện tích là ρ (r, θ, φ) = ρ₀ H (R - r) . Như bạn thấy, mật độ điện tích này không phụ thuộc vào bất kỳ thành phần góc nào, do đó, điện thế không phụ thuộc vào bất kỳ thành phần góc nào. Do đó chúng ta có thể viết phương trình Poisson dưới dạng

Phương trình này khá dễ giải vì chúng ta có thể di chuyển phần sang bên kia và sau đó tích phân cả hai vế đối với r . Sau đó, chúng tôi di chuyển phần sang phía bên kia và tích hợp lại.

Vì chúng ta đang xử lý các hàm Heaviside, chúng ta sẽ nhận được các giá trị khác nhau cho c₀c bên trong và bên ngoài hình cầu.

Làm cho các phương trình này phù hợp với thế giới thực

Để phương trình này mô tả thế giới thực, chúng ta cần đặt ra hai hạn chế:

  • Tiềm năng phải là hữu hạn.
  • Điện trường phải là hữu hạn.

Tiềm năng hữu hạn

Để ngăn chặn tiềm năng vô hạn, chúng ta phải đặt hằng số cho số hạng 1 / r thành 0 với r gần 0, điều này chúng ta có thể làm với hàm Heaviside.

Tôi đã giới thiệu một hằng số α> 0 mà chúng ta sẽ sớm xác định. Tôi chỉ muốn có được biểu mẫu ngay bây giờ.

Điện trường hữu hạn

Để đảm bảo điện trường của chúng ta là hữu hạn, chúng ta không thể có sự thay đổi đột ngột trong điện thế. Vì điện trường là gradien âm của điện thế, bất kỳ bước nhảy không liên tục nào cũng sẽ dẫn đến một lực vô hạn. Để tránh vấn đề này, chúng tôi yêu cầu tiềm năng phải liên tục. Hơn nữa, để đảm bảo trường tồn tại ở mọi nơi, chúng tôi cũng yêu cầu gradient của điện thế phải liên tục, điều này cũng giống như nói điện thế phải nhẵn . Nếu chúng ta thử đặt hằng số cho số hạng 1 / r thành bất kỳ thứ gì ngoại trừ số 0 bên trong hình cầu, chúng ta sẽ có hai điểm gián đoạn.

Sự gián đoạn đầu tiên xuất hiện khi r = α. Sự gián đoạn thứ hai xuất hiện khi r = R.

Mặt khác, nếu hằng số của số hạng 1 / r bằng 0 đối với r> R nào đó bên ngoài hình cầu, chúng ta sẽ có một cặp điểm gián đoạn khác.

Tôi đặt c₁ = 0 trong cả hai biểu đồ, nhưng nó sẽ không giúp bạn nếu nó khác 0 vì bạn cũng cần sự mượt mà.

Để đảm bảo hàm là liên tục, chúng ta sẽ cần hằng số cho số hạng 1 / r bằng 0 bên trong hình cầu và khác 0 bên ngoài hình cầu, có nghĩa là

Tiềm năng đi đến con số không

Chúng ta có thể thêm một hằng số vào toàn bộ hàm tiềm năng mà không làm thay đổi bất kỳ vật lý cơ bản nào. Để làm cho cuộc sống của chúng tôi dễ dàng hơn, chúng tôi chọn các hằng số của chúng tôi để ϕ (r) → 0r → ∞ . Để làm như vậy, chúng ta có thể thay thế hằng số bằng một hàm Heaviside khác.

Tại thời điểm này, chúng ta cũng có thể chia hàm thành một hàm từng phần:

Tính liên tục và độ mượt mà

Để đảm bảo tính liên tục, giới hạn bên trái và bên phải của tiềm năng phải bằng nhau ở mọi nơi. Vì cả hai phần của thế năng là liên tục trên miền của chúng, nên tiềm năng chỉ có thể không liên tục tại r = R , đây là điểm duy nhất chúng tôi sẽ kiểm tra.

Để đảm bảo tính trơn tru, giới hạn bên trái và bên phải của đạo hàm phải bằng nhau.

Hai điều kiện này cho ta một hệ phương trình đơn giản có nghiệm

Đây là điện thế và điện trường:

Điện trường liên tục nhưng không êm khi r = R. Không yêu cầu phải có độ trơn của điện trường, nhưng mật độ điện tích thực sẽ không ngay lập tức chuyển từ một số điện tích sang không điện tích, vì vậy bạn có thể sẽ có điện trường mịn.

Bán kính của Electron

Theo những gì chúng ta có thể nói, electron có bán kính bằng không. Mặc dù có một số cách để nói về một số loại bán kính liên quan đến năng lượng tự thân của electron, nhưng electron không phải là một quả bóng mà bạn có thể nhặt và chơi với nếu chỉ là bạn ở trạng thái hạ nguyên tử. Chúng ta cũng không thể cắt điện tử để mở hoặc lắp một hạt khác vào bên trong nó. Hơn nữa, phương pháp Green's Functions , mà chúng ta đang làm, đã được phát minh ra nửa thế kỷ trước khi chúng ta biết electron tồn tại dưới dạng các hạt rời rạc. (Trong bài báo gốc của Green , anh ấy mô tả nguồn điện trường và thế điện như một chất lỏng điện nào đó. Nói cách khác, mô hình của chúng tôi không chính xác.) Để làm cho mô hình của chúng tôi chính xác, chúng tôi cần lấy giới hạn là bán kính R về không.

Thuật ngữ cho phần bên trong electron sẽ đi đến vô cùng khi bán kính đi đến vô cùng, nhưng chúng ta không quan tâm vì chúng ta sẽ không bao giờ nhìn vào bên trong electron. Tuy nhiên, phần bên ngoài electron hoạt động tốt hơn nhiều vì nó không phụ thuộc vào bán kính của hình cầu.

Đây là Định luật Coulomb cho điện tích q = –e .

Còn về Tiềm năng hữu hạn và Điện trường hữu hạn?

Điện thế này tiến tới vô cùng khi r tiến về 0. Chúng ta đã có cả một phần nói về lý do tại sao chúng ta nên có điện thế hữu hạn và điện trường hữu hạn. Trong cả hai trường hợp, chúng tôi đều lo lắng về việc kết thúc với nguồn năng lượng vô hạn. Miễn là các điện tích điểm của chúng ta không trùng nhau (điều này sẽ không xảy ra trong Cơ học cổ điển hoặc Cơ học lượng tử), chúng ta không gặp vấn đề gì vì không có điện tích nào ở vị trí có thế điện vô hạn.

Mật độ phí trông như thế nào?

Giữ một mật độ điện tích không đổi trong suốt một quả cầu co lại dẫn đến giá trị số của mật độ điện tích tăng lên. Vì cuối cùng chúng ta sẽ về 0, cuối cùng chúng ta sẽ kết thúc với mức tăng đột biến vô hạn tại điểm gốc. “Hàm” kết quả này là một biến thể của hàm Dirac delta.

Hàm Delta Dirac

Có rất nhiều cách để nghĩ về hàm Dirac delta. Hiện tại, chúng ta sẽ tập trung vào phiên bản một chiều của mật độ điện tích, sau đó thảo luận về định nghĩa chính thức của hàm Dirac delta.

Hàm Delta Dirac như một giới hạn

Trong một khoảnh khắc, giả sử chúng ta đã sống trong một vũ trụ phẳng, một chiều. Trong trường hợp đó, Phương trình Poisson sẽ giảm xuống

Vì chúng ta đang ở trong một chiều, quả bóng 1D của chúng ta là một đường. Vì vậy, bây giờ, chúng ta có thể mô tả mật độ điện tích của một quả cầu có điện tích đồng nhất là

Chức năng này là một biến thể của chức năng xe điện hoặc mũ đội đầu vì nó trông giống như một chiếc xe ô tô hoặc một chiếc mũ đội đầu.

Chúng ta không cần giải Phương trình Poisson bởi vì nó phức tạp, nhưng chúng ta có thể xem xét điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta thử chuyển nó thành điện tích điểm. Để làm như vậy, chúng ta lấy giới hạn khi h về 0 trong khi vẫn duy trì mật độ điện tích không đổi. Về mặt đồ họa, chúng ta có các chức năng mũ chóp mỏng hơn và mỏng hơn.

Về mặt toán học, chúng ta có

Để xử lý giới hạn này, chúng tôi đã giới thiệu hàm Dirac delta δ (x) .

Vòng tròn biểu thị sự gián đoạn.

Nếu bạn nhớ đạo hàm đối xứng, bạn sẽ có thể thấy rằng chúng ta có thể biểu diễn hàm Dirac delta là “đạo hàm” của hàm Heaviside.

Hàm Dirac Delta và Tích phân

Sử dụng giới hạn này, hãy thử tích hợp một số hàm nhân với hàm Dirac delta.

Khi kích thước của khoảng thời gian bằng không, giá trị trung bình trong khoảng thời gian có xu hướng hướng tới giá trị của hàm bằng 0. Do đó chúng tôi có thể nói

Nói chung, chúng ta muốn một phiên bản dịch chuyển của hàm Dirac delta, δ (x - s) , để chúng ta có thể trích xuất giá trị của một hàm tại bất kỳ điểm nào.

Sử dụng cùng một đối số, chúng ta sẽ tìm thấy cùng một kết quả cho một tích phân trên bất kỳ khoảng nào có chứa s . Mặt khác, tích phân trong các khoảng không chứa s sẽ cho chúng ta bằng không.

Câu lệnh cuối cùng này và câu lệnh f (x) δ (x - s) = 0 nếu x ≠ s tạo thành định nghĩa cốt lõi của hàm Dirac delta.

Biến giả

Tôi đã sử dụng s để biểu thị vị trí trong các bài viết trước và tôi không muốn bất kỳ ai nhầm lẫn. Từ thời điểm này trở đi, s là một biến giả mà chúng tôi sẽ tích hợp qua. Nó sẽ không bao giờ xuất hiện trong bất kỳ câu trả lời cuối cùng nào. Nếu chúng ta đang giải quyết một vấn đề ở các kích thước cao hơn, chúng ta sẽ đặt vectơ s biểu thị biến giả. Các biến thực sẽ được ký hiệu bằng các số hạng tiêu chuẩn như r hoặc x .

Chức năng Dirac Delta ở các kích thước cao hơn

Hàm Dirac delta ở các chiều cao hơn có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các hàm Dirac delta một chiều. Ví dụ, chúng ta có thể lập mô hình điện tích điểm dưới dạng tích của hàm delta Dirac cho mỗi trong ba tọa độ Descartes.

Hệ số Lamé

Chúng tôi sẽ đi vào chi tiết hơn một chút trong bài báo Hình học vi phân, nhưng bây giờ, chúng tôi sẽ giới thiệu các hệ số Lamé , mà tôi đã nghe mọi người gọi là hệ số tỷ lệ . Nếu bạn nhớ bài viết đầu tiên chúng tôi định nghĩa vectơ cơ sở , bạn sẽ nhớ rằng chúng tôi đã làm như vậy bằng cách lấy đạo hàm của vị trí đối với một tọa độ và chuẩn hóa nó. Hệ số Lamé là hệ số chuẩn hóa.

Chúng xuất hiện ở rất nhiều nơi (bao gồm cả tích phân, chẳng hạn như r trong r dr dθ ), nhưng chúng cũng rất quan trọng đối với hàm Dirac delta. Để đảm bảo các đơn vị phù hợp và tích phân của chúng ta hoạt động đúng trong các hệ tọa độ tùy ý, chúng ta chia mỗi hàm Dirac delta cho hệ số Lamé tương ứng.

Bạn có thể lo lắng về việc chia cho số 0, nhưng bạn không cần phải làm vậy. Bạn có thể coi chúng như là ngăn cản dV đưa ra các yếu tố tỷ lệ mà chúng ta không nên có. Theo quy tắc, hàm Dirac delta cho một biến nhất định sẽ loại bỏ chính xác hệ số tỷ lệ cho cùng một biến trong dV .

Giảm thứ nguyên

Hàm Dirac delta cho phép bạn biến tích phân thể tích thành tích phân bề mặt và tích phân bề mặt thành tích phân đường hoặc tích phân tiêu chuẩn. Ví dụ, hãy xem xét tích phân khối lượng sau

Chúng ta có thể viết lại tích phân này như một tích của tích phân, cho chúng ta

Sử dụng thuộc tính xác định của hàm Dirac delta, chúng ta có thể nói

Mặc dù là một tích phân thể tích, chúng tôi đã kết thúc với diện tích bề mặt của một hình cầu. Theo cách tương tự, chúng ta hãy thử làm việc với tích phân khối lượng

Lần này, chúng ta có hai hàm delta Dirac, sẽ loại bỏ hai trong số các tích phân.

Cuối cùng, chúng tôi kết thúc với chu vi của một hình tròn.

Một cảnh báo quan trọng

Giả sử, vì lý do nào đó, chúng ta muốn tìm độ dài của một đoạn thẳng giữa các điểm (0, 0, 0) và (0, 0, L). Chúng tôi biết câu trả lời là L , vì vậy chúng tôi có thể sử dụng nó để kiểm tra các câu lệnh của chúng tôi trong phần trước. Trong hệ tọa độ Descartes, chúng ta muốn ép x = 0 , y = 0z ∈ [0, L] . Để làm như vậy, chúng ta có thể tìm tích phân của hàm f (x, y, z) = δ (x) δ (y) (H (z) - H (z - L)) trong không gian tổng thể.

Kết quả này cho chúng tôi câu trả lời mà chúng tôi mong đợi. Chúng ta cũng có thể thử tích phân này trong hệ tọa độ cầu. Bạn có thể nghĩ rằng chúng ta không cần giới hạn φ cho bất cứ thứ gì vì giới hạn θ đến 0 khiến φ không liên quan, vì vậy hãy thử nó với hàm f (r, θ, φ) = H (L - r) (δ (θ) / r) .

Tích phân này cho chúng ta bằng không bởi vì chúng ta đang yêu cầu diện tích bề mặt của một đường, bằng không. Nói chung, nếu việc cố định giá trị của một tọa độ làm cho một tọa độ khác không liên quan, chúng ta cũng phải sửa giá trị của tọa độ không liên quan. Nếu chúng ta thử f (r, θ, φ) = H (L - r) (δ (θ) / r) (δ (φ - c) / (r sin θ)) , chúng ta nhận được

như mong đợi. Thực tế là φ không liên quan cho thấy rằng c không quan trọng trong câu trả lời cuối cùng.

Tại sao chúng ta lại làm việc này?

Bạn sẽ thường có một công thức liên quan đến tích phân của một số đầu vào ba chiều, nhưng đầu vào của bạn là một hoặc hai chiều. Hàm Dirac delta cho phép bạn sử dụng công thức mà không cần thay đổi tích phân.

Chức năng của Green

Khi tôi lần đầu tiên giới thiệu Phương trình Poisson, bạn có thể đã suy nghĩ điều gì đó dọc theo dòng "Tại sao chúng ta không thể cộng các lực từ Định luật Coulomb cho tất cả các điện tích trong hệ thống?" Nếu bạn có, sau đó chờ đợi cho chiếc giày khác rơi ra. Chúng ta sẽ bắt đầu với trường hợp tổng quát và tính Phương trình Poisson như một trường hợp đặc biệt.

Trường hợp chung

Phần này sẽ trừu tượng nên các phần tiếp theo sẽ đưa ra các ví dụ cụ thể. Giả sử chúng ta có một toán tử tuyến tính L và một số điều kiện biên sao cho

x₀ biểu thị tất cả các điểm tại biên.

Chúng ta gọi hàm G ( x ; s )Green's Function cho L. Dấu chấm phẩy phân tách các biến giả với các biến thực tế. Nếu chúng ta nhân cả hai vế của phương trình với f ( s ) , và sau đó lấy tích phân của cả hai vế trên vùng quan tâm đối với s , chúng ta nhận được

R là vùng, dVs là phần tử khối lượng nhỏ liên quan đến các biến s.

Sử dụng tính chất xác định của hàm Dirac delta cho phép chúng ta thay thế tích phân bên phải bằng f ( x ) .

Giả sử mọi thứ trong hệ thống của chúng ta đều hoạt động tốt, chúng ta có thể chuyển đổi thứ tự của toán tử tuyến tính và tích phân.

Nếu chúng ta xác định một chức năng mới

sau đó chúng ta có thể nói

Nói cách khác, u ( x ) này là nghiệm của phương trình vi phân L u = f với bất kỳ điều kiện biên nào mà chúng ta đang sử dụng.

Bộ tạo dao động điều hòa

Đối với ví dụ này, chúng ta sẽ xem xét bộ dao động điều hòa được điều khiển , mà bạn có thể coi như một lò xo chậm lại theo thời gian và đang chịu tác động của một lực bên ngoài nào đó. Phương trình của hệ thống là

where f(t) is the deviation from equilibrium, ω₀ is the natural angular frequency of the oscillator, γ is the damping ratio, and F(t) is the force applied to the system. Our operator L is

With the method of Green’s Functions, we have

where t is the real variable and τ is the dummy variable. To solve this equation, we first solve the associated homogeneous equation.

We can use the standard method of the characteristic equation to get the solution

As with many Green’s Function solutions, you can guess that the solution is given as a function of the difference between the dummy variables and the real variables. In this case, I guessed G(t ; τ) = G(t – τ). It’s going to be more convenient to work with G(t – τ) in the rest of this derivation, so if you see G without a semicolon, it’s G(t – τ). In the case where we have ω₀ = γ, we have a critically-damped system, which gives us a repeated root and gives us

I’ll ignore that case because I don’t want to write this section twice. I also don’t want to write the exponent in full each time, so I’ll let

This solution applies everywhere except when t = τ. At that point, we have to be a little more careful. First, we can’t have the spring teleport, which means that G(t ; τ) must be continuous. We can do so by saying

Second, we can find another restriction on our solution by integrating both sides of the differential equation around the point t = τ.

Then, we take the limit as ϵ → 0.

Because G(t ; τ) is finite, its integral will go to zero as ϵ → 0. Because G(t ; τ) is continuous, the term G(τ + ϵ ; τ) – G(τ – ϵ ; τ) will go to zero. Now, we just need to plug in the equation we found for G(t – τ) and take the limit.

We now have two equations.

These equations look quite nasty, but they’re still a system of linear equations. To make our lives easier, I’m going to introduce two new constants k and k such that k = c – c and k = c – c. Doing so reduces the two equations to

You can solve this equation with standard tricks like putting it into reduced row echelon form. If you do, you’ll find

We have a problem in that we have four constants for a second-order linear differential equation, but we can ignore c and c by setting them equal to zero. In doing so, we’re setting our Green’s function to be zero before our system receives an impulse at time t = τ, which we can do by multiplying our solution by a Heaviside function. Our Green’s function is therefore

We can make it a little cleaner by introducing the hyperbolic sine function.

which looks like

Our full solution is the sum of the solution of the homogeneous equation with τ = 0 plus the sum of the integral of Green’s function.

Causality and Recency

Note the strong sense of causality in our solution. The force at any moment in time only affects the future behavior of the system thanks to the Heaviside functions. Furthermore, more recent forces have more of an effect than less recent forces thanks to the exponential decay.

What About When γ < ω₀?

In that case, everything becomes complex. It’s pretty easy to deal with as you switch the order of γ and ω₀ in the square root and the hyperbolic sine becomes a sine function, which gives you some ringing.

Wow, That Sucked

Finding the Green’s function for this problem took a bit and I had several issues along the way. For these reasons, you solve for Green’s Functions using integral transforms instead. We’ll cover integral transforms in later articles.

Example with Boundary Conditions

Our differential equation had initial conditions, but you can also work with boundary conditions as Andrew Dotson does in the video below.

Poisson’s Equation

The derivation we did for Green’s Function for Poisson’s Equation is similar to the derivation George Green did in his original paper. A more modern derivation would look like the one given in this video.

At the end of the derivation in the video, we end up with the integral form of Poisson’s Equation:

I can almost guarantee that there’s a sign error somewhere in there and you have to consider the orientation of the surface. Anyway.

You can think of the first term as the total contribution (∯… ⋅ dS) of the electric field (what you’re integrating) at the boundary of the region of space (∂R, but see this video for more info) and the second term as the total contribution (∭… dV) of the charge density (ρ(s)) within the region (R).

What’s the First Term?

The second term makes more sense as you’re just adding up a bunch of point charges, but the first term is more difficult. As a brief explanation, say you have a region of space with some charge density and you only want to consider part of the region. The charges outside the part of the region will contribute something to the potential, but they can’t show up in the second integral of the charge distribution. Instead, they show up in the first term.

Why Haven’t I Seen the First Term Before?

You usually assume a boundary infinitely far away from whatever you care about and the electric field/potential is zero at infinity. For this reason, the integral form of Poisson’s equation is often written as

Alternatively, you make an argument that the electric field at the boundary is effectively zero because charges are balanced outside the boundary. Doing so means you drop the first integral and leave everything else intact.

Example of Poisson’s Equation

Let’s say we have a hollow hemisphere of radius R with a uniform charge density. Our charge density is ρ(r’, θ’, φ’) = ρ₀ δ(r’ – R) H(π/2 – θ’), where ρ₀ is a constant. We can plug this result in the integral to get

Variables with primes are dummy variables. Variables without primes are real variables. The denominator is the distance between two points in spherical coordinates, which I looked up.

Although evaluating this integral analytically might be awful, it’s something we can put into a computer and have it figured out. I just wanted an example that showed how to use the Heaviside and the Dirac delta function in a charge density integral. With that being said, it’s often possible to find an exact expression for the electric potential at various points, like along the z-axis (θ = 0, φ gets canceled out so it doesn’t matter)

Isn’t that an Infinite Potential?

Bạn có thể lo lắng rằng r = 0 sẽ dẫn đến tiềm năng vô hạn. Bạn không cần phải làm vậy. Số hạng cuối cùng trong ngoặc có căn bậc hai và giá trị tuyệt đối cũng bằng 0, vì vậy bạn kết thúc bằng 0/0 , nghĩa là bạn có thể làm việc với giới hạn là r → 0 .

Các cách tiếp cận khác đối với các chức năng của Green

Cũng như nhiều khái niệm trong toán học và khoa học, có nhiều cách để đạt được kết quả tương tự. Tôi sẽ cảm thấy thiếu sót nếu tôi không đưa ra một số lựa chọn thay thế cho cách tiếp cận được đưa ra trong bài viết này. Mặc dù những cách tiếp cận này hợp lệ, nhưng chúng không quan trọng đối với Cơ học lượng tử như cách tiếp cận của tôi.

Từ Eigenfunctions

Bạn hoàn toàn có thể giới thiệu các hàm của Green mà không cần tham chiếu đến hàm Dirac delta, như bạn có thể thấy trong video bên dưới.

Chuyển chức năng

Các kỹ sư sử dụng các Chức năng của Green mọi lúc. Hàm truyền là Phép biến đổi Laplace của Hàm màu xanh lá cây cho một hệ thống tuyến tính và thời gian bất biến với điều kiện ban đầu bằng không. Vì lý do này, nhiều lớp Phương trình vi phân giới thiệu hàm Dirac delta cụ thể trong phần về Biến đổi Laplace.

Để hiểu rõ hơn về cách điều này phù hợp với kỹ thuật, hãy xem video này:

“Đáp ứng xung khi các điều kiện ban đầu bằng 0” là Hàm của Green và “xung” là hàm Dirac delta.

Hilbert Spaces

Trong toán học, không gian Hilbert (đặt tên cho David Hilbert) cho phép tổng quát hóa các phương pháp giải tích và đại số tuyến tính từ không gian Euclid hữu hạn chiều sang không gian có thể không có một chiều hữu hạn. Không gian Hilbert là không gian vectơ được trang bị tích bên trong cho phép xác định hàm khoảng cách để nó trở thành không gian hệ mét hoàn chỉnh.
- Bài viết trên Wikipedia về Hilbert Spaces

Tôi hy vọng rằng, tại thời điểm này trong loạt bài và với định nghĩa được đưa ra ở trên, rõ ràng chúng ta đang làm việc với không gian Hilbert. Trong các bài viết trước bài viết này, chúng tôi đã làm việc với không gian của các hàm tích phân bình phương , hay còn gọi là không gian . Khi chúng ta thêm hàm Dirac delta (và các bản phân phối khác) vào danh sách các hàm của mình, chúng ta sẽ làm việc trong Sobolev hoặc Rigged Hilbert Spaces . Tôi không quan tâm đến các chi tiết cụ thể, nhưng hãy thoải mái xem xét chúng.

Toán tử phép chiếu trong Cơ sở đồng bằng Dirac

Chúng ta đã nói về toán tử phép chiếu trong bài viết trước trong bối cảnh mở rộng hàm riêng, nhưng chúng ta cũng có thể mở rộng các hàm dưới dạng hàm Dirac delta.

Nếu chúng ta nhóm tất cả các hàm cơ sở này lại với nhau với λ> c , chúng ta sẽ có hàm Heaviside.

Tương tự như vậy, nếu chúng ta nhóm tất cả các hàm delta với λ ∈ (a, b) lại với nhau , chúng ta sẽ có một hàm mũ đỉnh.

Bạn không thể thêm một số thứ không thể đếm được

Có một vấn đề lớn ở đây. Không có cách nào để thực sự cộng lại một số lượng không thể đếm được. Vấn đề này đã được giải quyết kể từ khi phát minh ra tích phân Riemann bằng cách chia khoảng thời gian thành các phần nhỏ tùy ý. Sử dụng thủ thuật này, chúng ta thực sự có thể duy trì tổng nếu chúng ta thay thế hàm Dirac delta bằng một số hình chữ nhật mỏng tùy ý.

Không gian là rời rạc?

Để rõ ràng, khả năng của chúng tôi làm được điều này không làm cho không gian trở nên rời rạc. Chúng tôi chỉ cắt nó thành các phần nhỏ như chúng tôi làm với tích phân. Như tôi đã nói trước đây , bạn không bao giờ thực sự tính tổng vô hạn trong thế giới thực. Bạn dừng lại ở một số điểm khi bạn đạt được độ chính xác mong muốn.

Không gian vectơ của các hàm Dirac Delta

Các hàm delta Dirac chỉ có ý nghĩa như các phần tử của không gian vectơ đối ngẫu của các hàm liên tục, có nghĩa là cơ sở Dirac hơi khác so với những gì chúng ta đã làm việc. Ví dụ, lấy tích phân của một hàm delta Dirac bình phương không có ý nghĩa trong lý thuyết phân phối chuẩn. Nói cách khác ⟨δ (x - λ) | δ (x - λ) ⟩ không có nghĩa. Vì lý do này, áo ngực ⟨δ (x - λ) | không nằm trong không gian kép của ket | δ (x - λ) ⟩ như trường hợp của các hàm liên tục. Chúng tôi không chuyển đổi từ cơ sở Dirac này sang cơ sở Dirac khác, vì vậy nó không xuất hiện.

Cơ sở đồng bằng Dirac trong các hệ tọa độ khác

Bạn vẫn cần các hệ số tỷ lệ cho cơ sở đồng bằng Dirac trong các hệ tọa độ khác nhau, nhưng nó sẽ không thành vấn đề đối với mục đích của chúng tôi.

Cái gì tiếp theo?

Chúng tôi đang thiếu một vài phương pháp để giải một số lớp PDE nhất định (đáng chú ý nhất là các phép biến đổi tích phân), nhưng chúng tôi sẽ đề cập đến chúng khi chúng xuất hiện ở dạng phù hợp hơn. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ kết thúc vòng PDE của loạt bài này bằng cách sử dụng các phương pháp mà chúng tôi đã mô tả để lấy, giải và phân tích phương trình sóng.

Thúc đẩy

Nếu bạn thích bài viết này và muốn xem thêm từ tôi, bạn có thể ủng hộ loạt bài này bằng cách đọc và chia sẻ bất kỳ bài viết nào khác trên Phương tiện của tôi .

© Copyright 2021 - 2023 | vngogo.com | All Rights Reserved